Что дарить детям?

Добрый день!

Не только вокруг Нового года, но и перед другими массовыми праздниками люди внезапно теряют голову. Вчера, например, я видел, как две взрослые женщины подрались в магазине канцелярских товаров из-за последнего оставшегося лунного календаря. И это они не ради себя, а для родных, так как выкрикивали что-то вроде «моя Любонька его давно хотела».

Внезапно выяснилось, что праздник вот-вот придёт, а без подарка никак нельзя! И пускаются наши бедные люди терять часы в очередях магазинов, хотя могли бы провести это время в хорошей компании друзей и родных. Да, в этот раз без на скорую руку купленного бессмысленного «подарка». Но в следующем году можно будет озаботиться поиском подходящих индивидуальных подарочков ещё за полгода до праздника, чтобы точно успеть. Или даже удастся заметить, что никто слова плохого не произнёс по поводу отсутствия обязательного вручения свёртков, поэтому и в следующем году можно не тратить эмоции на «срочный поиск не слишком дешёвого, приятного, но и не слишком дорогого».

Но сегодня я хотел поднять тему подарков детям. Что им вручают? Сотую куклу и сто первого робота, тысячную машинку и тысяча первый конструктор из 15 деталек, мешок конфет и газировку! Эх, я помню, как моя двоюродная сестрёнка механически разворачивала очередной «Киндер-сюрприз», которые ей все несли, зная, что «она их любит». А она их уже видеть не могла — грустно бросала очередную игрушку в огромный полный мешок, в котором никогда ничего не искала. Нет, когда-то давно ей это было интересно и весело, но потом поедание шоколадной оболочки стало неприятной обязанностью.

А что надо дарить детям? И взрослые люди зачастую не знают, чего хотят, поэтому наивно надеяться, что дети знают. Если их прямо спросить, то они могут прямо и ответить, что хотят какую-нибудь шоколадку или трансформера. Но можно попробовать вспомнить, что лично вам нравилось получать в детстве.

Мне, например, очень приятно было получать в подарок не игрушки или сладости, а «настоящие вещи». Нет, не свитер. Речь о «взрослых вещах»:
- фонарик,
- компас,
- отвертка, напильник, молоток, разводной ключ,
- глобус и атлас,
- увеличительное стекло,
- бинокль,
- небольшой небьющийся термос,
- электромоторы, лампочки, проводки и батарейки,
- обломок мощного магнита,
- перочинный нож,
- радиопроёмник,
- гантели,
- ...

Есть много интересных предметов (кстати, дешёвых)), которые, как может показаться, ребёнок никак не сможет применить. «Он же ещё маленький», да? Но давайте честно признаем, что от кукол или трансформеров тоже проку мало. Мы хотим развивать ребёнка, поэтому покупаем развивающие игрушки? Но свой компас или глобус может развить куда сильнее, чем сто первый робот...

Дети бывают разные. Но всякий раз, вручая своим маленьким родственникам не очередной конструктор, который почти сразу отправится в один из огромных ящиков с игрушками, а «настоящую вещь», я убеждаюсь, что дети мечтают не о игрушках и сладостях.

А что вы хотели получить в детстве? Какие подарки вам нравились? Пожалуйста, поделитесь!

А любителям математики я напоминаю о старинной заметке с ещё более старинной задачкой о подарках.

Хорошей подготовки к встрече Нового года!

Числовые ребусы и образование

Добрый день!

В этот праздничный месяц мы начали играть в цифры: сначала я предложил пару задачек, а потом провёл небольшой разбор, чтобы пояснить, почему подобные задачки полезны. Да, их может решить компьютер тупым перебором. Но человек их может решить методом пристального взгляда, что компьютеру пока недоступно.

И сегодня я предлагаю вам ещё три очень простых ребуса, которые решаются «в одно действие»:

1) Вычислите: cos(α/2)*cos(β/2)*cos(γ/2)*...*cos(ψ/2)*cos(ω/2) = ?

2) Вычислите: С*Н*Е*Г*У*Р*О*Ч*К*А = ?

3) Решите систему:
     Д + Е = Н + Ь
     Г + О = Д
     Э + Р = А
(Алексей Кап_Лун, спасибо за задачку!)

А всех любителей игр в цифры я приглашаю прочитать комментарий Avegar к разбору, так как он провёл большую работу, подготовив отдельную интересную заметку, раскрывающую лишний раз смысл выражения «наука умеет много гитик».

Кроме того, давайте сыграем в следующую игру — я приведу несколько цитат, а вы попытаетесь угадать страну, о которой идёт речь (пусть это будет четвёртая задачка на сегодня).

«Система образования с годами приобрела слишком много коммерческих черт»

«Учебными стандартами пренебрегают и школы, и учителя, и ученики, а теперь еще и экзаменаторы — в угоду результатам»

«Как грибы после дождя стали расти защищенные паролем сайты, на которых можно было приобрести информацию о том, что следует выучить к экзамену и по каким учебникам заниматься»

«...Такая поддержка чрезвычайно высоко ценится издателями учебников, так как учителя вынуждены покупать их дорогие книги, чтобы ученики, подготовившись по ним, получили высокие баллы. Часто учебники пишет руководитель экзаменационного совета, который потом и определяет содержание экзаменов. В 2005 году был зафиксирован случай, когда в результате такой сделки оборот издателя "подпрыгнул" на (примерно 300 млн. руб.)»

«В одном из расследований было выяснено, что при существующей системе сдачи экзамена дети получают высокие баллы по математике, не зная таблицы умножения и не умея выполнять в уме элементарные действия — сложение, вычитание, умножение чисел»

«Зачастую детей учат именно сдавать экзамен, при этом они используют формулы как готовые "рецепты", без понимания их смысла»

«Преподаватели вынуждены идти на обман экзаменационной системы для достижения показателей, которые (по общему признанию) не соответствуют действительности и не отражают истинного уровня знаний школьников»

«В (название страны) поклоняются экзаменам и рейтингам. Приоритет отдается числам и баллам, возвышающимся над сердцами и умами детей»

Все эти цитаты взяты из недавней статьи журнала «Математика в школе». Угадали, о какой стране пишет автор? Дополнительно рекомендую сбивающую с толку ссылку на статью «Высшее учебное запустение» Александра Привалова.

Пожалуйста, напишите комментарий, отражающий ваше отношение к этим четырём задачкам (примерно так: «1) решал в школе, 2) решал в детском саду, 3) решил за 20 секунд, 4) Буркина-Фасо (бывшая Верхняя Вольта)»)

Хорошего дня!

Бегство от перебора

Добрый день.

Решение задачи может осуществляться как минимум с двумя целями:
- узнать ответ (речь о решении проблем на работе или сдаче экзаменов),
- развить себя, решая задачу.

При обучении мы заняты преимущественно вторым направлением. В самом деле, если бы мы хотели всего лишь ответ, то подсмотрели бы его на последних страницах задачника или просто списали бы у сильного ученика.

Когда я говорю о важности избегания переборных решений, то, конечно, не отказываю этому способу в эффективности. Более того, иногда быстрая реализация решения перебором тоже полезна (например, чтобы с интересом изучать язык программирования). Но исходный смысл задачки «одним росчерком превратить 5+5+5+5=555 в верное равенство» был всё же в развитии воображения и интуиции (что никак не отменяет полезности переборного решения).

В прошлой заметке «Игры в цифры» я предложил решить простые ребусы, посетовав, что далеко не всегда видно, как справляться с ними без перебора. В то же время, мы прекрасно понимаем, что перебрать все возможные перестановки десяти цифр можно очень быстро (даже ученикам начальной школы уже вредно задавать реализацию этой программы, потому что им всегда чего-нибудь интересненького хочется).

Поэтому давайте решим ту вторую систему, не используя грубую силу. Итак, задачка состояла в следующем — решить систему:
     Г*О+Д=21,
     В*Е+К=21,
     Э*Р+А=21.

Заметим, что у нас в ней использовано девять разных букв, а разных цифр бывает всего десять. Другими словами, почти все цифры придётся применить.

Интуиция подсказывает, что полезно проанализировать цифры, являющиеся делителями числа справа (21). Легко почувствовать, что с тройкой бывает много разных решений, поэтому сконцентрируемся на семёрке. Вопрос: где она может стоять в равенстве A*B+C=21?

Если вдруг C=7, то A*B=14, из чего следует, что или A, или B должно быть равно 7, чего не может быть (так как разным цифрам соответствуют разные буквы, а C=7 по предположению). Тогда рассмотрим случай A=7. Легко увидеть, что это возможно только при C=0. Это значит, что если семёрка входит в ответ, то одно из равенств выглядит так: 7*3+0=21.

Как мы ранее уже говорили, с тройкой трудно ждать чего-то интересного, поэтому рассмотрим цифру 0. Вопрос: где 0 может стоять в равенстве A*B+C=21? Легко понять, что ни A, ни B не могут быть равны 0. Это значит, что C=0. Другими словами, если в ответ входит 7, то в него входит и 0. А если в ответ входит 0, то в него входит 7. Поскольку у нас на 9 букв претендуют 10 цифр, то не может быть, что 7 и 0 одновременно не входят в ответ. А это значит, что они обе входят. И это очень хорошо, так как они с собой забрали ещё и цифру 3.

Теперь наша задача звучит так:
     3*7+0=21,
     В*Е+К=21,
     Э*Р+А=21.

Давайте подумаем, какие самые маленькие множители могут быть в произведениях В*Е и Э*Р. Свободные цифры у нас такие: 1, 2, 4, 5, ... Но разве может быть меньшим множителем 5? Нет, так как 5*6 уже больше 21. А может ли быть наименьшим множителем 1? Тоже нет, так как 1*A+B=21 не имеет решения в цифрах. Это означает, что на две позиции у нас ровно два кандидата, поэтому можно считать, что В=2, а Э=4.

Теперь наша задача звучит так:
     3*7+0=21,
     2*Е+К=21 (2<Е),
     4*Р+А=21 (4<Р).

Из Э=4 сразу следует единственная возможность не превысить 21: 4*5+1=21. А с В=2 получаем уже небольшой перебор — свободные цифры у нас такие: 6, 8, 9. Но тут уже трудно не найти 2*6+9=21. Получается, что цифра 8 у нас не может участвовать в решении. Первая задача (где вместо 21 стоит 15) решается совершенно аналогично.

К сожалению, далеко не всегда есть возможность почувствовать направление, в котором надо идти, чтобы эффективно отсекать заведомо неинтересные случаи. Но иногда это возможно, поэтому жалко упускать такой случай. Где компьютер проведёт быстрый и бессмысленный перебор, человек может сразу сконцентрироваться на важных шагах. Но чем больше компьютер помогает маленькому человеку избегать тренировок мозга, тем меньше взрослый человек начинает отличаться от компьютера (в том смысле, что тоже не чувствует, куда двигаться эффективнее, а тупо перебирает все варианты по алфавиту).

Повторюсь: полностью от перебора уйти почти невозможно. Сильные шахматисты не только имеют хорошее шахматное чутьё, но и быстро-быстро перебирают варианты. Но поскольку человек не может рассмотреть все варианты развития шахматной партии, он вынужден тренировать своё «чувство поля». Стоит привыкать стараться сокращать перебор, чтобы взявшись за настоящую и сложную задачу в зрелом возрасте, не опускать руки со словами «всех компьютеров планеты не хватит, чтобы решить эту задачу за век», а бодро проинтуитить, как отбросить огромные объёмы бессмысленных вычислений. Впрочем, нельзя забывать, что хоть ощущения и могут хорошо направить, но им никогда нельзя верить (т.е. обязательно надо за ними проверять).

Если вы согласны, что важно тренировать интуицию в раннем возрасте, то, пожалуйста, поделитесь ссылкой на заметку в Twitter, Google+, Facebook, Вконтакте или добавьте её в свой блог/ЖЖ: <a href="http://my-tribune.blogspot.com/2012/12/brute-force.html">Бегство от перебора</a>. Спасибо!

Хороших выходных!

Игры в цифры

Добрый день.

Начался декабрь — последний месяц перед Новым годом. Что мы можем по этому поводу сказать?

Во-первых, 2013 раскладывается на простые множители следующим образом: 2013 = 3 х 11 х 61.

И оно начинает серию из трёх идущих подряд чисел, имеющих 3 разных простых множителя (и ровно 8 делителей):
2014 = 2 х 19 х 53,
2015 = 5 х 13 х 31.

Заметим, что сумма числа 2013 и его простых делителей
2013 + 3 + 11 + 61 = 2088
равна сумме числа 2014 со своими простыми делителями
2014 + 2 + 19 + 53 = 2088.

А ещё это число можно выразить, расставив знаки между цифрами, идущими от 1 до 7:
123 + 45 * 6 * 7 = 2013 (здесь пришлось разрешить склейку, что обычно не используется в автобусных билетиках).

А можно справиться и без склейки, но с возведением в степень: 1 + 2 * (3 + 4⁵) - 6 * 7 = 2013

В заметке «Обучение без интернета» мы уже чуть-чуть говорили о том, имеют ли смысл все эти игры с числами (кстати, в той же заметке мы упомянули блог «Десять букв», из которого взяты все эти новогодние примеры). С одной стороны, никакой пользы от таких игр с числами для народного хозяйства не видно. С другой же стороны, если готовить свою голову к решению достаточно абстрактных задач, то невредно потренировать мозг на методичный быстрый перебор без ошибок, развить память, улучшить математическое чутьё, а также научить его получать удовольствие от возни с цифрами.

Предлагаю на эту тему пару задачек, первую из которых надо решить устно, ничего не записывая на листе бумаге, кроме ответа, а для второй всё же придётся пару строчек из цифр зафиксировать (во всяком случае, мне не удалось решить вторую устно, поэтому поделитесь, пожалуйста, подходом к устному решению, если сможете одолеть её без бумаги).

Задачки звучат так — решите системы уравнений:
а)
Г*О+Д=15
В*Е+К=15
Э*Р+А=15

б)
Г*О+Д=21
В*Е+К=21
Э*Р+А=21

(как обычно, разным цифрам соответствуют разные буквы, система счисления десятичная и т.д.)

Эти две задачи взяты из ЖЖ Константина Кнопа (по этой ссылке вы можете найти ещё несколько интересных ребусов — более сложных, но и более интересных).

Если вы понимаете, что в таких задачках важно не ответ найти (это и компьютер может сделать мгновенно), а развить себя в процессе решения, то, пожалуйста, поделитесь ссылкой на заметку в Twitter, Google+, Facebook, Вконтакте или добавьте её в свой блог/ЖЖ:
<a href="http://my-tribune.blogspot.com/2012/12/numbers.html">Игры в цифры</a>. Спасибо!

Хорошего дня!