Об изучении математики

Во все времена было очень распространено заблуждение убеждение о том, что каждому необходимо так знать определения, чтобы от зубов отскакивали. Детей загоняли и загоняют в школы для зазубривания непонятного им текста, но редкий школьник понимает смысл выученных «заклинаний». Я предлагаю сейчас не спорить об эффективности этой системы, а перейти к ясности. Дело в том, что мы сейчас не в школе, поэтому можем не спешить, а вникать.

Например, в недавней заметке о бесконечности мы быстро прошли мимо записи «∞ - ∞ = ?». В комментариях вопрос явно не прозвучал, но по двум электронным письмам понял, что на эту тему стоит посмотреть чуть дольше.

Моя позиция такая: учить определения на ранних этапах не очень эффективно, потому что понимание приходит через «осязание». Надо сначала пощупать объект, о котором будем говорить, а потом его строго описывать. Кстати, математики знают много определений интеграла: и интеграл Ньютона, и интеграл Римана, и интеграл Лебега, и ещё много разных умных мужиков придумали свои хитрые интегралы. Но начинать надо не с определений всех этих интегралов, а с попыток понять и пощупать всякие хитрые функции. Но это я отвлёкся...

В пришедших вчера письмах был следующий вопрос:
Почему разность двух бесконечностей не равна нулю? И как такое может быть, что при вычитании из объекта самого себя остаётся что-то?

Глупо отвечать на эти вопросы, давая определения. Гораздо лучше рассмотреть простой пример, который всё поставит на места. Пусть
S0 - это сумма чисел, обратных к натуральным (S0 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...),
S1 - сумма чисел, обратных к нечётным (S1 = 1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...), а
S2 - сумма чисел, обратных к чётным (S2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...). Легко представить себе эти три бесконечные суммы. И многие, наверное, уже догадались, что мы с ними сделаем дальше.

У нас запланировано три шага:

1) Мы докажем, что S0=∞, S1=∞ и S2=∞. Что значит эта запись? Что суммы этих рядов не ограничены. Какое бы большое число N мы не загадали, все эти суммы его заведомо превзойдут.

2) Поймём, что S0 = S1 + S2. Вычтем из обеих частей этого равенства сумму S1. Получим S0 - S1 = S2. Что это значит? Это пример «∞ - ∞ = ∞».

3) А после этого мы возьмём разность S1 и S2. Можно показать, что S1-S2 - это конкретное вещественное число, не равное нулю (на самом деле, S1-S2 = log(2) ~ 0.6931471805599453). Это пример «∞ - ∞ = log(2)»

Более того, всегда можно взять разность S1-S1=0. Это простейший пример «∞ - ∞ = 0».

Эти шаги позволяют нам прикоснуться к понятию бесконечность, не погружаясь в строгие определения терминов ряд, сумма ряда, предел, частичная сумма и так далее. Мы сформулировали тезисы, в каждый из которых можно стараться вникнуть, если это интересно. Это нужно для развития представления о предмете, который предстоит подробно изучить. И такой подход позволяет лучше «укладывать в голову» все следующие понятия (проще понимать ответ на вопрос «почему именно так?», чем заучивать ответ на вопрос «как?»).


Давайте, например, разберёмся, как можно выполнить первый шаг. Чтобы понять, что S0=∞, достаточно доказать, что для любого (сколь угодно большого) числа N найдётся такое количество членов M ряда S0, что даже частичная сумма (т.е. сумма всех элементов ряда с первого по M-тый) превзойдёт загаданное N.

Сделать это легко - надо всего лишь начать собирать члены ряда в группы, сумма элементов в которых больше 1/2. В самом деле, если мы покажем, что можем насобирать таких групп сколько угодно, то тем самым докажем, что для любого N найдётся частичная сумма, которая это N превзойдёт.

Долго сказка сказывается, но быстро дело делается:
S0 = 1/1 +
     1/2 +
     1/3 + 1/4 +
     1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +
     1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 +
...

Заметим, что сумма в каждой строке превосходит 1/2. В самом деле:
- в каждой строчке самое правое число является самым маленьким,
- количество членов в каждой строке в два раза меньше, чем знаменатель самого маленького (правого) элемента.
Умножаем количество на самое маленькое число - получаем нижнюю оценку суммы для строки.

Аналогичное рассуждение легко провести для сумм S1 и S2.

Кто-то скажет, что такие «рассуждения на пальцах» вредны, потому что не обладают необходимой строгостью и чёткостью. Но у меня есть возражение: спортсмены не сразу умеют быстро бегать и высоко прыгать, а постепенно подходят к своим лучшим результатам. Так и способность размышлять об абстрактных вещах появляется не сразу, а развивается постепенно. Человека можно отпугнуть от математики, заставив зубрить определения, но не показав, о чём это всё. А можно показать красивые и интересные моменты, зная о которых ученик легко прочитает все нужные книги. Потому что мозг гораздо лучше работает, когда человек получает от процесса удовольствие или заинтересован как-то иначе. Кстати, год назад мы рассматривали пример с казино, который, мне кажется, хорошо показывает важность такой мотивации.

Хорошего вам дня!