Разбор осей симметрии

Процесс мышления ещё слабо изучен человечеством, на что, естественно, есть масса причин. Кроме колоссальной сложности работы головного мозга, есть понятное философское возражение - мы изучаем объект с помощью этого же объекта. То есть мы познаём своё мышление, пользуясь именно им, что осложняет систему. В частности, какие-то сбои в работе головы тяжело достоверно отслеживать, потому что ненадёжный прибор (ошибающийся мозг) даёт неточные данные в момент своего сбоя.

Но мне интересней другой аспект этого вопроса. Все люди разные, поэтому могут видеть отличающиеся вещи, глядя на одну сущность. И поэтому очень интересно «влезть в шкуру» - понять, что и почему думает другой человек. Это не только очень увлекательно само по себе, но и позволяет лучше понять процессы внутри себя. Да и других людей понимать бывает очень полезно (об этом вчера была опубликована история про аптеку). Другими словами, хоть мозг и плохо подходит для изучения мозга, ничего лучше мы пока не нашли, поэтому будем пользоваться им :)

Просто так за людьми можно долго наблюдать, но огромный поток получаемой информации очень затрудняет вычленение критически интересных моментов. Поэтому меня привлекают простые задачки, про которые уже известно, что они у многих вызывают коллизию интуиции и рациональности (после заметки я приведу ссылки на некоторые из ранее рассмотренных примеров). На них быстро выявляются (или не выявляются) интересные сложности, которые заставляют глубже задуматься о понимании других людей.

Итак, разберёмся наконец с задачкой о квадрате и осях симметрии, это очень полезное упражнение по изучению объектов чужими глазами.

Какие бывают ответы и как их получить:

Ответ 1. Если пристальный взгляд на картинку даёт только квадрат с координатами (-1,1), (1,1), (1,-1) и (-1,-1), то это обычно означает одно из двух:
1) невнимательное чтение задачки (делалась попытка найти квадраты, у которых оси симметрии совпадают с обоими осями координат, хотя достаточно было одной оси).
2) расслабленность при решении.

Ответ 3. Это очень распространённый ответ, выдающий внимательного человека, который очень верит своей интуиции, а на грабли наступает редко :)
Быстрый мозг подсказывает, что к квадрату из первого пункта стоит добавить ещё два:
(а) (-1,1), (-1,-1), (-3,-1), (-3,1) и
(б) (-1,1), (1,1), (1,3), (-1,3).
Это сдвиги исходного квадрата вдоль каждой из осей координат, при которых одна сторона квадрата переходит в другую. Увы, после этого часто возникает ощущение, что дальше копать некуда: двигать дальше по осям бесполезно, так как точка (-1,1) перестаёт быть вершиной квадрата, значит считаем задачу решённой. Были комментарии «могу доказать, что 3 - максимум» и «почему я вижу только три?» (видимо, после прочтения чужих комментариев), что подтверждает возникновение стойкого внутреннего ощущения, что дальше копать некуда, поэтому другие квадраты найти не удаётся или очень трудно.

Ответ 6. Я знаю два способа получить такую версию:
1) Проводим рассуждение для каждой из осей X и Y. Сначала разберёмся с осью X: если точка (-1,1) является вершиной квадрата, то симметричная относительно оси X точка (-1,-1) тоже будет вершиной квадрата. Получается, мы уже имеем две вершины - осталось понять, какие две ещё могут быть. Но тут просто: отрезок между этими двумя вершинами может быть правым ребром квадрата, левым ребром или диагональю. Для оси Y аналогично находим ещё 3 квадрата. Получается, что всего их 6. Это решение во многом неплохое, но выдаёт некоторую невнимательность.
2) Другое решение аккуратнее. Мы замечаем, что в двух найденных наборах из трёх квадратов есть два одинаковых, поэтому понимаем, что в плоскости XY квадратов может быть ровно 5 (и я это называю правильным решением). Но тут возникает идея выйти из плоскости. Пусть одна диагональ шестого квадрата будет идти из точки (-1,1) в (1,-1), а вторая диагональ будет на оси Z: одна точка на корень из 2 выше нуля, а другая - на корень из 2 ниже. Получается опять 6 квадратов. Здесь, как я понимаю, мозг думает примерно следующее: «ага, я увидел этот трудный повёрнутый квадрат, сложнее ничего не бывает, поэтому задача решена».

Ответ 7. Здесь рассуждения аналогичны: найдя 5 квадратов на плоскости, продолжаем искать что-нибудь в объёме. Например, можно взять квадрат, перпендикулярных оси X, у которого центр находится на оси X, а одна из вершин имеет координаты (-1,1,0). Получаем квадрат (-1,1,0), (-1,0,1), (-1,-1,0), (-1,0,-1). Аналогично для второй оси.

Ответ 8. Комбинация предыдущих двух: добавили к 7 квадратам один диагональный (с вершиной (0,0,sqrt(2)).

Ответ 9. К тем 7 квадратам, что нашли выше, добавили ещё два, проходящих через ось Z: один с верхним ребром (-1,1)-(1,-1), а другой с таким же нижним ребром. Удивляет, что при этом не нашли квадрат с такой диагональю :)

Ответ 4. Всё делаем как в первом случае «ответа 6» (разбираем ситуацию для обоих осей отдельно), но не замечаем возможности построить повёрнутые квадраты, поэтому имеет ответ 4, а не 6.

Ответ бесконечно много. Распространены два способа получать такой вариант. Один будет рассмотрен чуть позже, а второй состоит в неправильном понимании термина ось симметрии (если считать осью симметрии такую прямую, которая делит фигуру на две равных).

Если вы получали другие ответы интересным образом или эти же ответы, но существенно другими способами, то, пожалуйста, напишите об этом в комментариях - это интересно!

Какой ответ правильный? Я не думаю, что это очень важно. Я бы считал правильным ответом 5, потому что все выходы в трёхмерное пространство странны тем, что мы не пошли дальше - в четырёхмерное и так далее (тогда бы легко получили бесконечное множество квадратов, которое иногда предлагалось в качестве ответа в комментариях прошлой заметки). Разговоры о недоопределённости задачи я понимаю, но в данный момент не считаю интересными.

А вообще, это была задачка для 9-10 класса математического конкурса Кенгуру (2004 год, задача номер 16). Кстати, сам проект очень рекомендую! Поскольку баллы, набранные при решении задачек, ни на что не влияют, то и конкурсом этим не интересуются различные коррупционеры и прочие товарищи, меняющие дух интеллектуального соревнования детей на измерение кошельков родителей. Если у вас подрастают детки, то я рекомендую дать им возможность поучаствовать в таком мероприятии - это очень интересно, но стоит каких-то символических денег. Хоть это и тест с вариантами ответов, там есть интересные задачки, способные не только померить знания ребёнка, но и научить новому (список задачек).

По причине школьного уровня этой задачки я предлагал уделить ей не больше 1-2 минут. В полном варианте предлагается 30 задач, работа длится всего 75 минут, а вопрос о квадрате был не самым сложным. Поздравляю всех, кто решил её правильно! (большинство ответов было 5)

Обещанные ссылки на заковыристые задачи:

1. Характерная алгебраическая задачка - если не знать заранее, что она не просто так, то ошибка будет с очень высокой вероятностью. А если знать, то просто с высокой :)

2. Задачка о двух конусах тоже заманивает в несколько разных способов получить неправильные ответы (для неё был проведён аналогичный разбор, который лучше не читать до самостоятельного решения).

3. Задачка о 8 монетах тоже всеми конечностями толкает к неверному ответу, так что нелегко удержать себя от поспешных заявлений о своём варианте решения :)

А какие интересные задачки с похожими сбоями трезвого мышления знаете вы?