Обобщение задачи Монти-Холла

Добрый день!

В сентябре мы начали решать разнородные задачи о кубах (1, 2, 3, 4, 5 и 6), а сегодня будет юбилейный седьмой вопрос из этой серии - задача о Якубовиче и шести шкатулках.

Многие знают суть задачи Монти-Холла:
1) ведущий предлагает игроку выбрать любую из трёх шкатулок, но не открывать её (всем заранее известно, что только в одной шкатулке находится приз, а ведущий знает, в какой именно),
2) игрок, указывает на выбранную шкатулку, а ведущий обязан открыть другую (пустую, естественно), что и делает,
3) после этого ведущий предлагает игроку изменить свой выбор: если хочется, можно продолжать настаивать на выборе исходной шкатулки, но можно вскрыть другую,
4) цель игрока - максимизировать вероятность открывания шкатулки с призом.

Некоторые люди считают, что на вероятность выигрыша эта замена шкатулки не повлияет, потому что в двух оставшихся шкатулках приз может быть с равными вероятностями 50%. Мы об этом уже подробно говорили полтора года назад, поэтому сейчас не будем заново разбираться с этой классической задачкой.

Давайте лучше рассмотрим расширение этой задачи, в которой у Якубовича появляется свобода воли (а значит, необходимость думать): он может решить, открывать пустую шкатулку или нет, перед тем как предложить игроку изменить свой выбор.

Итак, задача:
0) игрок и ведущий умные (то есть они оба могут догадаться до всего, до чего можно догадаться, как и в задаче про голубоглазых на острове),
1) игрок хочет с максимальной вероятностью выбирать призы, а ведущий хочет минимизировать эту вероятность,
2) перед игроком два подноса, на каждом из которых по три шкатулки, причём на каждом подносе есть ровно одна шкатулка с призом,
3) ведущий обязан ровно один раз открыть пустую шкатулку.

Игра проходит следующим образом:
а) игрок показывает на одну из шкатулок,
б) ведущий открывает или не открывает одну из оставшихся двух шкатулок на этом подносе (естественно, пустую),
в) ведущий предлагает игроку изменить свой выбор (указать на оставшуюся пустую шкатулку или ничего не менять для данного подноса),
г) пункты а), б) и в) повторяются для второго подноса (но ведущий обязан открыть пустую шкатулку ровно один раз).
После игры становится ясно, сколько (0, 1 или 2) призов добыл игрок/проиграл ведущий.

Что дальше? А получается довольно забавная ситуация:
- игрок знает, что если ведущий не открыл шкатулку на первом подносе, то он заведомо сделает это на втором, что позволит игроку хотя бы тут получить приз с вероятностью 2/3,
- ведущий знает, что игрок настроен поменять свою шкатулку на другую, если ведущий воспользуется своей возможностью вскрыть пустую, поэтому будет открывать её именно тогда, когда игрок выбрал шкатулку с призом,
- игрок понимает это, поэтому будет настаивать на своём выборе, даже если ведущий открыл пустую шкатулку,
- ведущий, догадавшись до такой хитрости игрока, будет вскрывать пустую шкатулку тогда, когда игрок не попал в приз,
...

Все эти рассуждения чем-то напоминают «парадокс узника», который уже несколько раз обсуждался в комментариях к другим задачам, но пока мало помогают придумать правильные алгоритмы игры для обоих участников.

Соответственно, вопрос задачи: как должны действовать игрок и ведущий, чтобы достичь своих целей?

Данную задачу можно, конечно, и дальше обобщать: увеличить количество подносов и указать другое количество вскрываемых ведущим шкатулок. Но я предлагаю разобраться сначала именно с этой формулировкой, потому что уже она является достаточно ёмкой.

Хорошего дня!