Об интуиции и вероятности (парадокс Монти-Холла)

В заметке про автобусные билетики мы упомянули интуицию. В самом деле, профессионал должен чувствовать, где правильное решение, чтобы сделать первые попытки в его направлении. Это позволяет выигрывать время и экономить силы. Наверняка вы видели людей, которые в первые секунды загораются идей проверить некоторые варианты (и часто этого хватает, чтобы решить проблему), но если ничего не вышло, то начинают серьёзно думать. То есть они пытаются (и успешно) сократить перебор, тем самым повышая свою эффективность.

Сейчас я приведу пример работы интуиции.

Помните, была раньше в телевизоре передача "Поле чудес" (может и сейчас ещё есть), в которой ведущий предлагал две шкатулки (одна с призом, а вторая - пустая)? Тогда представьте, что он предложил не две, а три шкатулки (всё как раньше - одна с призом).

И вот игрок выбирает одну из трёх шкатулок, но её ещё не открыли. Представили?
А теперь ведущий (который знает, где приз) открывает одну шкатулку (пустую).

То есть на подносе осталось две закрытых шкатулки (одну из которых выбрал игрок) и одна открытая (пустая). Значит, осталось две закрытых шкатулки, в одной из которых находится приз. То есть, с вероятностью 50% игрок указал на шкатулку с призом. Правильно?

В самом деле, если есть две шкатулки, в одной из которых находится приз, то указав на одну из них, счастливчик выиграет с вероятностью 50%. Верно ведь?

Теперь, даже если Якубович спросит, уверен ли участник игры в своём выборе или же хочет поменять его (выбрать другую шкатулку), то менять смысла нет. Ведь и в одной, и в другой шкатулке приз находится с вероятностью 50%.

Это была иллюстрация классического парадокса Монти Холла. Мы только что посмотрели, как интуиция нам подсказала, что выигрыш будет с вероятностью 1/2, хотя на самом деле, конечно, вероятность выигрыша была 1/3 (а поменяв свой выбор в последний момент, игрок мог получить приз с вероятностью 2/3).

Давайте поймём, с чем это связано. Думаю, ясно, почему интуиция нам подсказала, что выигрыш будет в половине случаев - мы ведь много раз сталкивались в жизни с таким раскладом: есть два варианта, один из них правильный, следовательно, в половине случаев мы его угадаем.

Математическое же объяснение короткое и простое, но понять его мешает как раз эта бытовая интуиция. Когда игрок первый раз показал на шкатулку, он угадал где приз с вероятностью 1/3. Значит, в оставшихся двух шкатулках приз будет в двух случаях из трёх. Когда ведущий открыл одну тех двух шкатулок, то вероятность того, что приз в одной из них осталась равной 2/3. Но раз одна шкатулка открыта, то в другой приз будет именно с этой вероятностью 2/3.

Если вам ещё не верится, что вероятность выигрыша игрока не одна вторая, то проведите эксперимент с игральными картами: возьмите три разных карты, решите, какая из них будет выигрышной, после чего сыграйте сами с собой пару десятков раз (это займёт буквально пару минут). Когда я объяснял этот парадокс, мне хватило 14 итераций, чтобы интуиция засомневалась и позволила логике думать :) После этого эксперимента перечитайте ещё раз объяснение в абзаце выше - всё должно встать на свои места.

Это был пример неправильной работы интуиции. Напишите, пожалуйста, в комментариях, попались ли вы на эту ловушку (тоже посчитали, что выигрыш будет в половине случаев) или сразу поняли, что вас обманывают (конечно, если вы заранее не знали этого финта).

Мораль же понятна: надо сталкиваться с подобными ловушками как можно чаще, чтобы натренировать свою бытовую интуицию обходить их. Именно поэтому я рекомендую родителям и учителям выделять время для решения и обсуждения подобных задачек с самого детства. Конечно, есть задачки разной сложности на разные возраста. Если алгебраический подвох (где обычная интуиция мешает сделать всё правильно) имеет смысл класса с восьмого-девятого, то задачу про Кощея (в которой интуиция всеми силами отгоняет от правильного действия) можно решать лет с шести-девяти. Ну а трамвайные билетики стоит начинать уже с пяти-шести лет, переходя постепенно к автобусным (здесь развивается не только интуиция, но и быстрый перебор, настойчивость и быстрый счёт, что тоже нужно). Есть огромное множество хороших развивающих интуицию задач, решив которые, избавляешься от многих серьёзных иллюзий. И жизнь показывает, что именно люди без подобных шор добиваются большего успеха, потому что не прячутся от него в своих заблуждениях. Поэтому я буду и далее публиковать подобные разборы.