Об изучении математики

Во все времена было очень распространено заблуждение убеждение о том, что каждому необходимо так знать определения, чтобы от зубов отскакивали. Детей загоняли и загоняют в школы для зазубривания непонятного им текста, но редкий школьник понимает смысл выученных «заклинаний». Я предлагаю сейчас не спорить об эффективности этой системы, а перейти к ясности. Дело в том, что мы сейчас не в школе, поэтому можем не спешить, а вникать.

Например, в недавней заметке о бесконечности мы быстро прошли мимо записи «∞ - ∞ = ?». В комментариях вопрос явно не прозвучал, но по двум электронным письмам понял, что на эту тему стоит посмотреть чуть дольше.

Моя позиция такая: учить определения на ранних этапах не очень эффективно, потому что понимание приходит через «осязание». Надо сначала пощупать объект, о котором будем говорить, а потом его строго описывать. Кстати, математики знают много определений интеграла: и интеграл Ньютона, и интеграл Римана, и интеграл Лебега, и ещё много разных умных мужиков придумали свои хитрые интегралы. Но начинать надо не с определений всех этих интегралов, а с попыток понять и пощупать всякие хитрые функции. Но это я отвлёкся...

В пришедших вчера письмах был следующий вопрос:
Почему разность двух бесконечностей не равна нулю? И как такое может быть, что при вычитании из объекта самого себя остаётся что-то?

Глупо отвечать на эти вопросы, давая определения. Гораздо лучше рассмотреть простой пример, который всё поставит на места. Пусть
S0 - это сумма чисел, обратных к натуральным (S0 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...),
S1 - сумма чисел, обратных к нечётным (S1 = 1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...), а
S2 - сумма чисел, обратных к чётным (S2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...). Легко представить себе эти три бесконечные суммы. И многие, наверное, уже догадались, что мы с ними сделаем дальше.

У нас запланировано три шага:

1) Мы докажем, что S0=∞, S1=∞ и S2=∞. Что значит эта запись? Что суммы этих рядов не ограничены. Какое бы большое число N мы не загадали, все эти суммы его заведомо превзойдут.

2) Поймём, что S0 = S1 + S2. Вычтем из обеих частей этого равенства сумму S1. Получим S0 - S1 = S2. Что это значит? Это пример «∞ - ∞ = ∞».

3) А после этого мы возьмём разность S1 и S2. Можно показать, что S1-S2 - это конкретное вещественное число, не равное нулю (на самом деле, S1-S2 = log(2) ~ 0.6931471805599453). Это пример «∞ - ∞ = log(2)»

Более того, всегда можно взять разность S1-S1=0. Это простейший пример «∞ - ∞ = 0».

Эти шаги позволяют нам прикоснуться к понятию бесконечность, не погружаясь в строгие определения терминов ряд, сумма ряда, предел, частичная сумма и так далее. Мы сформулировали тезисы, в каждый из которых можно стараться вникнуть, если это интересно. Это нужно для развития представления о предмете, который предстоит подробно изучить. И такой подход позволяет лучше «укладывать в голову» все следующие понятия (проще понимать ответ на вопрос «почему именно так?», чем заучивать ответ на вопрос «как?»).


Давайте, например, разберёмся, как можно выполнить первый шаг. Чтобы понять, что S0=∞, достаточно доказать, что для любого (сколь угодно большого) числа N найдётся такое количество членов M ряда S0, что даже частичная сумма (т.е. сумма всех элементов ряда с первого по M-тый) превзойдёт загаданное N.

Сделать это легко - надо всего лишь начать собирать члены ряда в группы, сумма элементов в которых больше 1/2. В самом деле, если мы покажем, что можем насобирать таких групп сколько угодно, то тем самым докажем, что для любого N найдётся частичная сумма, которая это N превзойдёт.

Долго сказка сказывается, но быстро дело делается:
S0 = 1/1 +
     1/2 +
     1/3 + 1/4 +
     1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +
     1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 +
...

Заметим, что сумма в каждой строке превосходит 1/2. В самом деле:
- в каждой строчке самое правое число является самым маленьким,
- количество членов в каждой строке в два раза меньше, чем знаменатель самого маленького (правого) элемента.
Умножаем количество на самое маленькое число - получаем нижнюю оценку суммы для строки.

Аналогичное рассуждение легко провести для сумм S1 и S2.

Кто-то скажет, что такие «рассуждения на пальцах» вредны, потому что не обладают необходимой строгостью и чёткостью. Но у меня есть возражение: спортсмены не сразу умеют быстро бегать и высоко прыгать, а постепенно подходят к своим лучшим результатам. Так и способность размышлять об абстрактных вещах появляется не сразу, а развивается постепенно. Человека можно отпугнуть от математики, заставив зубрить определения, но не показав, о чём это всё. А можно показать красивые и интересные моменты, зная о которых ученик легко прочитает все нужные книги. Потому что мозг гораздо лучше работает, когда человек получает от процесса удовольствие или заинтересован как-то иначе. Кстати, год назад мы рассматривали пример с казино, который, мне кажется, хорошо показывает важность такой мотивации.

Хорошего вам дня!

Вопросы и ответы

Добрый день!

В рамках стратегии «выдели маленькую долю своего времени на освоение вещей, которые не пробовал, чтобы не закостенеть в малюсеньком только тебе интересном мирке», я протестировал сервис вопросов и ответов от Google. Это большая и достаточно удобная система, которая позволяет легко задавать вопросы, отвечать на них, искать похожие, не забывая при этом поощрять активных участников.

Но качество вопросов угнетает безмерно. У меня сложилось впечатление, что большинство участников не понимают разницы между вопросом и набором букв. По этой причине на очень многие «вопросы» ответить невозможно (что не мешает авторам задавать их повторно). Кучу вопросов навалили троечники:
- спрашивают значения слов, которые подробно описаны в википедии,
- просят помочь решить линейное (!) уравнение,
- пересказывают задачку своими словами, потеряв важную часть условия.

Очень многие не понимают смысл своего же вопроса, поэтому не способны отличить правильный ответ на него от наукоподобной болтовни (кстати, как с IQ-тестами). А ведь это важно! Не только учителям нужно уметь проверять правильность решения, но и ученикам. Ведь первый проверяющий - это сам автор решения (если по уму всё делать).

Короче, отсутствие фильтрации по сообразительности приводит к тому, что доля хороших вопросов в системе очень низка. Это, естественно, отвращает многих умных людей, способных ответить на настоящие вопросы. А из-за этого уже и спрашивать там что-то не хочется.

Есть ли выход? Я думаю, специализированные тематические ресурсы тут должны помочь. Например, система «AskDev - вопросы и ответы IT-специалистов» (да, это русский клон StackOverflow) не должна привлекать толпы школьников, потому что один взгляд на вопросы, перечисленные на главной странице, повергает их в сон или уныние. То есть, мы имеем систему, автоматически фильтрующую большую часть неквалифицированных авторов вопросов и ответов. И это правильно: лучше мало, но хорошо, чем много, но неприемлемо. Поэтому профессионалам становится легче найти друг друга, чтобы поделиться своим опытом и мастерством.

А вы пользуетесь подобными системами вопросов и ответов?

P.S.
Это трёхсотая заметка на блоге, поэтому я воспользуюсь правом юбиляра произнести следующую мысль: за последний месяц в яндекс-рейтинге блог «Привычка не думать» улетел со 153-го места уже на 326-ое. Если это у вас тоже вызывает лёгкий дискомфорт и вы можете поставить ссылку со своего блога или дневника на понравившуюся заметку, то, пожалуйста, сделайте это. Было бы интересно понять, что получится. И мне было бы приятно :)

Бесконечность - не число!

Две вещи действительно бесконечны:
Вселенная и человеческая глупость.
Впрочем, насчет Вселенной у меня
есть некоторые сомнения.
Альберт Эйнштейн

Недавно мы уже поднимали этот вопрос, но он так важен, что стоит остановиться на нём подробнее.

Если про один объект иногда говорят такие же слова, как про другой, то это не значит, что эти объекты имеют одинаковые свойства.

Вышло длинное и непонятное предложение, поэтому поясню примером:
Можно сказать «позвони по телефону», а можно сказать «позвони в колокол» - очень разные действия, но один глагол. Из этого нельзя делать вывод, что все остальные действия с телефоном (приём SMS, память на 200 номеров и так далее) свойственны колоколу. Это настолько очевидно, что данный абзац выглядит абсурдным.

Но почему тогда многие так легко оперируют со словом бесконечность, как будто это число? Да, к бесконечности можно применять некоторые действия, которые успешно проходят с числами (сделав необходимые оговорки):
   2 + ∞ = ∞,
   ∞ - 5 = ∞,
   2 * ∞ = ∞,
   ∞ / 5 = ∞,
   ∞ + ∞ = ∞ (более того, ряд вещественных чисел часто расширяют ещё парой элементов +∞ и -∞, но строго оговаривают, как с ними можно обращаться).

Это значит, что далеко не всё с такими «бесконечностями» можно делать. Например, ∞ - ∞ = ? (здесь мы имеем неопределённость, так как не можем дать ответ, не зная природы этих двух «бесконечностей»). Во всяком случае, наивно сразу говорить, что разница будет нулевой.

А уж если начинаются разговоры про то, что какая-то величина стремится к нулю или бесконечности, то очень часто до корректных рассуждений дело так и не доходит. Кстати, полгода назад мы разбирались с бытовым применением понятия бесконечности. Нам тогда удалось «доказать», что сумма катетов треугольника всегда равна гипотенузе. Это был не очень простой, но полезный пример. Есть куда более древние и знаменитые построения, которые выглядят столь просто, что совершенно не ясно, как с ними возможны какие-то проблемы.

Давайте вспомним классическую апорию Зенона:
Если известно, что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи, а находится от неё на расстоянии в 1 километр, то за время, которое Ахиллес потратит на этот километр, черепаха проползёт 100 метров. Соответственно, когда Ахиллес пробежит ещё 100 метров, черепаха проползёт 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, а Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, хотя перемещается быстрее.

Способность говорить внятные вещи по поводу таких задач необходима, чтобы хоть как-то понимать рассуждения о стремлении, пределе, бесконечности и прочих интуитивно ясных, но достаточно сложных понятиях. Без этого разговор обычно скатывается в «у кого голос громче», хотя смысл математической науки вовсе не в том, чтобы любой ценой не дать себя переубедить. Увы, последние десятилетия всё меньше людей отличают корректное от наукоподобного, поэтому часто более важным считается перекричатьубедить, чем приблизиться к истине.

Итак, каким образом можно разрешить проблему с Ахиллесом и черепахой? Пожалуйста, не пишите, что как только Ахиллес пробежит второй километр, черепаха останется далеко позади. Это очевидно каждому, но совершенно не помогает. Тут нужно почувствовать проблему в исходном решении, а не придумать свой взгляд на то же условие.

Хорошего вам дня!

Чёрно-белая жизнь и ЕГЭ

Сегодня мы поговорим о вреде чрезмерного внимания к планированию и формализации.

Раньше, слыша словосочетание «чёрная бухгалтерия», я не понимал, зачем нужны все эти усложнения. Казалось бы, можно же честно заплатить все налоги, чтобы не беспокоиться вообще. А потом знакомые бухгалтера мне объяснили, что это возможно далеко не всегда. Оказывается, многие правила работают только для сферического бизнеса в вакууме, а в конкретных жизненных ситуациях так бывает, что физически невозможно легально оформить некоторые вопросы. И мы сейчас не будем говорить про статью расходов «взятки за то, что должно само работать по закону» (я знаю компании, которые смогли найти возможность обойтись без них). Мы говорим именно о принципиальной несовместимости некоторых пунктов закона, что вынуждает систематически нарушать закон или отказаться от ведения бизнеса. То есть, ситуация как на дорогах: иногда можно встретить в городе сочетание знаков, которого там быть не должно. Но оно есть, поэтому ему надо соответствовать. Это значит, что любое действие (кроме избегания этой конкретной улицы) автоматически приводит к формальному нарушению правил.

Через некоторое время мне пришлось узнать, что даже в школах нельзя обойтись без «чёрной бухгалтерии». Пример: темы и даты уроков в календарном плане должны быть проставлены заранее. Вроде бы неплохая инициатива - распланировать на год весь перечень тем, чтобы ничего важного не забыть. Но есть одна проблема: бывают непредвиденные обстоятельства:
- отмена занятий из-за плохой погоды или подготовки к местным выборам (обычно в пятницу),
- срыв урока из-за эпидемии какого-нибудь вируса (когда в класс приходит 2-3 человека) или болезни учителя,
- срыв большей части урока из-за того, что «пришло время всем ставить прививки»,
- отсутствие мальчиков в классе, потому что их всех отправили на осмотр в военкомат,
и так далее.
Да и не так легко распланировать, сколько уроков в этом году потребуется на каждую тему. Иногда удаётся быстро уложить знания в головы, а иногда очень трудно тема идёт... Поэтому идеально соответствовать своему же плану невозможно (а писать его в расплывчатом виде тоже нельзя - всё должно быть чётко).

Казалось бы, если что-то пошло не по плану, то разве это проблема? Нет, конечно, всё же можно постепенно нагнать (слегка уменьшив время на будущие темы)! Но тонкость в том, что чиновники, проверяющие школы, не вникают в такие мелочи. Для них важно, что отсутствует соответствие заявленного (плана на год) и реального (фактических записей в журнале). И их можно понять, если захотеть: когда не могут проверить содержание, то проверяют форму (а содержание занятий они проверить не в состоянии).

К чему это приводит? К тому, что часть людей привыкает вести двойной учёт. Например, некоторые учителя ведут два журнала:
- один для чиновников (там всё идеально, потому что текущие данные просто переписываются из плана),
- другой для себя (чтобы вести настоящий учёт прошедших занятий).

Почему они это делают? Потому что никто не хочет проблем. Дело в том, что именно за подобные формальные несоответствия прилетают санкции, так как по сути никто разобраться не может (чтобы наказывать за дело, где это требуется).

Нужны ли планы? Да, конечно! Они позволяют оценить примерные сроки, количество людей, бюджет и так далее. Но жёсткий контроль соответствия плана и реальности всё рушит: люди начинают подгонять реальность под план. Например, часто милиционеры стараются под разными предлогами не принимать заявления о краже телефонов (и прочих мелочах, которые почти невозможно раскрыть), потому что имеют план раскрываемости.

Всё, что было написано выше, не выглядит шибко плохим. Одни пишут ложь, а другие проверяют ерунду - все довольны. Но проблема в том, что люди привыкают разделять реальность и документы. Это приводит к тому, что следующие формальные нарушения делать уже совсем легко.

Приведу мрачный пример из жизни учителей математики. Такие рассказы я слышал от нескольких школьников из разных городов, когда участвовал в собеседованиях, поэтому не считаю эту проблему локальной и надуманной. Итак, когда я вижу, что ребёнок не понимает простейших геометрических задач, то спрашиваю у него, как же так получилось. И тогда школьники отвечают примерно следующее: «А наша учительница сказала, что мы не будем изучать геометрию на уроках, потому что в ЕГЭ заданий на алгебру гораздо больше».

Понимаете? Министерство образования утверждает какие-то учебные планы (которые могут нравиться или не нравиться - это другой вопрос), формирует учебники, создаёт структуры для контроля. А учителя «на местах» всё равно ориентируются на необходимость натаскивать на ЕГЭ. Учителя уже привыкли подгонять отчётность под план, поэтому уверенной рукой пишут, что в такие-то числа такого-то месяца они проходили, например, тему о треугольниках и решали задачи, но это совершенно не соответствовало реальности. Потому что планы нужны, не для их выполнения, а для подготовки документов о их выполнении. В этом я вижу большую проблему.

И эта практика становится привычной и обыденной. В руководствах для проверяющих ЕГЭ не требуется контроль правильности решения школьника, а необходимо совпадение его решения с эталонным. Согласитесь, это не очень соответствует духу правильного образования. Но идеально соответствует духу формальных и бездумных проверок.

Если вам интересно посмотреть на тему планирования с других углов зрения, то рекомендую недавнюю заметку Давыдова «О планировании». Он больше обращает внимание на планы для самого себя, но примеры предлагает занимательные.

Хорошего дня!

Три девчачьих фильма и Банальности

Сначала информация для любителей интеллектуально-психологической игры «Банальности» и тех, кто хочет к ним присоединиться: в этом месяце игра пройдёт не как обычно, а 19-го числа (завтра).

Давненько я не напоминал об этой интересной игре, поэтому коротко расскажу: достаточно выхода в интернет раз в месяц, чтобы принять участие в увлекательной и достаточно быстрой игре (понадобится всего 60 минут времени с 20 часов по Москве). Конкуренция в ней есть, поэтому очень даже можно погреть своё самолюбие. Если формулировать коротко, то задача очень простая - понять, что подумает большинство участников. Но надо учитывать, что все игроки тоже пытаются «раскусить» большинство, поэтому выходят интересные искажения. Подробнее можно прочитать в ЖЖ организатора. Рекомендую заранее сыграть пробную игру с роботом, чтобы лучше понять жанр (все детали по ссылке).

А теперь переходим к трём фильмам о непростой жизни непростых девочек.

Начнём c вышедшего в 2007-ом году отечественного фильма «Русалка». Его главную зеленоволосую героиню зовут Алиса, но нас это не должно смутить - фильм не по произведению Льюиса Кэрролла (здесь Андерсен ближе будет). Девочка Алиса имеет очень упёртый характер, а окружающий мир отвечает взаимностью: она хочет учиться танцевать, но её отдают в хор (потом и в школу для слабоумных, но речь не об этом). В какой-то момент Алиса понимает, что обладает удивительным даром - её сильные желания сбываются. А с такими способностями можно много дивных дел натворить!.. Но можно ли найти счастье?

Второй фильм - это «Алиса» 2009-го года. Попался он мне случайно, что часто бывает с хорошими фильмами. В этой реализации есть и Шляпник, и Гусеница, и «отрубите ему голову», но что-то не так. Что именно? Фильм хоть и по Льюису нашему дорогому Кэрроллу, но какой-то очень нормальный, чем заметно отличается от остальных попыток экранизации этой дивной книги. Алиса здесь работает инструктором по рукопашному бою, что, естественно, помогает ей в удивительных приключениях в Сказочной стране. Как и героиня «Русалки», она имеет сложности с отцом, но при этом целенаправленно ищет себя, а находит любовь (куда без этого?).

А вот героиню фильма «Mirror mask» («Зеркальная маска») 2005-го года зовут вовсе не Алиса, но если судить по интересности реальности, предлагаемой нам авторами, то это странно. Итак, у цирковой артистки Хелены тоже трудные отношения с отцом, ей тоже надо искать себя. Но делать это совершенно некогда, потому что нужно срочно спасать удивительный мир. Опасности подстерегают повсюду, но ей удаётся найти друзей, которые обязательно постараются помочь. Персонажи предложены просто дивные - уже только за них можно рекомендовать! Что я и делаю :)

Вопросы к тем, кто уже видел эти фильмы:
1. Какие аналоги вы знаете?
2. Если бы надо было собрать список из трёх «таких» фильмов, то что бы вы исключили из моей версии, а что добавили?

Желаю вам хорошего дня, бодрого просмотра фильмов и интересной игры «Банальности»!

Массаж головы и уравнения третьей степени

Многие люди знакомы с приятным ощущением в мышцах после спортивных нагрузок - организм радуется правильному физическому утомлению. Но сегодня речь пойдёт об аналогичном воздействии на мозг: если подумать о чём-то сложном и интересном, то можно получить массу удовольствия.

Тонкость здесь в том, что задача должна быть именно увлекательной и сопротивляющейся, а не тупой и рутинной. Например, недавно меня спросили: А почему в школьной программе нет изучения уравнений третьей степени? Они же почти такие же простые, как и квадратные уравнения, просто на один корень больше.

Что здесь можно ответить? Ответ будет ниже, а пока я покажу упражнение, которое полезно выполнить любому, кто задаётся таким же вопросом. А после упражнения будет пара важных мыслей.

Сконструируйте кубическое уравнение, у которого корнями являются числа 1, 2 и 3. Сделать это легко: (x-1)(x-2)(x-3)=0. Теперь давайте раскроем скобки, чтобы получить канонический вид уравнения третьей степени
Получаем: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0.

Другими словами, коэффициенты кубического уравнения следующие: a=1, b=-6, c=11, d=-6. Всё просто, как и в статье о квадратных уравнениях :)

Продолжаем движение. Как найти корни кубического уравнения, зная его коэффициенты? Можно вычислить дискриминант:

Посчитали? (сколько минут это заняло?) Это число позволяет нам выяснить, сколько же корней у этого простого уравнения (оказывается, у него три действительных корня). Заметьте, что нам очень повезло - все коэффициенты являются целыми числами, поэтому считать дискриминант было очень приятно.

Что делать дальше? Давайте искать корни. Формула очень простая:


Любому нормальному человеку не хочется подставлять в эти формулы даже целые числа, потому что придётся исписать немало бумаги. А представьте, что было бы, если бы у нас коэффициенты были иррациональными числами!

Метод решения «в лоб» не вдохновляет (заметьте, что по крайней мере с простыми квадратными уравнениями таких проблем нет). Давайте тогда попробуем применить метод Кардано:

Можно сделать замену , чтобы избавиться от коэффициента b (перед квадратом). Предлагаю проделать это. Впрочем, это не обязательно - можно сразу пройти по ссылке на страницу, где автоматически формируется решение этим методом: посмотреть решение по формуле Кардано (нужные коэффициенты я уже вбил).

Нравится такое решение? И это для простейшего уравнения, у которого корни 1, 2 и 3. Заметьте, что оно ещё достаточно короткое для такой задачи. Проблема в том, что сколько-нибудь сложное кубическое уравнение «решать человеком» очень неэффективно. Если квадратные уравнения проявляются в очень большом количестве задачек, то кубические нужны не так уж часто. А учитывая, как тяжело даётся их решение на бумаге (и очень высока вероятность арифметической ошибки, потому что проводится масса бессмысленных действий), крайне тяжело обосновать их плотное использование в школе.

Кстати, обычно если составитель задачи никак не может избавиться от необходимости решения кубического уравнения, то он так корректирует условие, чтобы корень был простой: 1, -1 или какой-то такой. Тогда школьник может легко поделить полином третьей степени на (x-x0), где x0 - угаданный корень, чтобы получить нулевой остаток и квадратное уравнение, которое уже совсем легко решить.

Поэтому, полагаю, Вы согласитесь со следующим моим ответом на подобные вопросы:
1. Есть не так много задач, в рамках которых возникают кубические уравнения;
2. Даже очень простое уравнение третьей степени (у которого не получается угадать один корень) требует много времени и сил, отвлекая ученика от настоящей работы мозга;
3. Поэтому нецелесообразно тратить время детей на рутинную работу, а лучше направить их силы на освоение сложных и интересных математических проблем. Знать об уравнениях третьей степени очень даже полезно, но вот регулярно их решать руками - явный перебор.

А сейчас будет важная мысль. Вот я показал вам эти формулы, но разве это было очень познавательно? Скорее нет, чем да. Но легко понять, что проблема не в кубических уравнениях, а в том, как я их только что подал. Недавно мы говорили о пяти уровнях обучения. Только что был пятый - я скучно дал формулы, не сообщив ничего важного об интереснейшей теме - о кубических уравнениях. Но ведь Кардано, который придумал эту остроумную замену (или кто-то до него) получил массу удовольствия. И это был отличный массаж мозга! Тысячи школьников и студентов, которым их учитель аккуратно подсказал, чтобы они почти сами сообразили, как можно справиться с достаточно сложным классом уравнений - они тоже получили массу удовольствия и пользы для развития своего мозга. Вроде бы те же уравнения, а какая большая разница!

Поэтому я не призываю отказываться от уравнений третьей степени, но прошу не вдалбливать формулы в бедные детские головы. Пользы от знания подобных формул в тысячи раз меньше, чем от их (почти) самостоятельного вывода. Поэтому гораздо лучше осилить вывод более простых формул, чем выучить эти.

А как же массировать ребёнку мозг? Всё зависит от его возраста.

Меня, например, примерно в возрасте шестиклассника очень впечатлил тот факт, что бывают числа, не представимые в виде отношения двух целых чисел. Само число «корень из двух» я себе представлял, но осознать, что оно не является рациональным - это было круто!

Потом ещё помню, как удивительно было осознать, что натуральных чисел ровно столько же, сколько рациональных (тогда я не знал о мощностях множеств, поэтому позволяю себе такие нестрогие формулировки). Как же так? Вроде бы между двумя подряд идущими натуральными числами есть бесконечно много рациональных... Но это, оказывается, не аргумент. Понять такое - это для школьника очень круто!

Ещё интереснее было потом понять, что вещественных чисел не просто бесконечно много, но гораздо больше чем натуральных. Это уже ни в какие ворота не лезло: я вроде бы понимал, что и натуральных, и вещественных чисел бесконечно много. Но как одних может быть больше, чем других? Или вот ещё вопросик: а бывает ли множество, в котором элементов больше, чем во множестве натуральных чисел, но меньше, чем во множестве вещественных?

Есть масса интересных свойств, которые может (почти) самостоятельно понять человек с любым уровнем подготовки, если у него есть желание (другими словами, если он уже ощущал кайф от процесса познания).

Хорошего вам дня! И удовольствия от размышлений!

Задача о трёх мудрецах

Добрый день.

Детские психологи выделяют момент в развитии мышления ребёнка, когда он может отличать своё знание об объекте от знания другого человека об этом же объекте. Представьте себе, что ребёнок видел, как кто-то убрал машинку с пола в шкаф. Когда приходит второй малыш, который ищет эту машинку, то наблюдатель может как осознавать, что второй не знает, где машина, так и не осознавать этого (выяснить это можно, спросив наблюдателя, где же будет искать машинку второй ребёнок). Есть и более сложные конструкции, выявляющие момент перехода ребёнка из состояния «есть только мой разум» в состояние «есть много других людей, которые видят и думают совсем иначе».

В более взрослом возрасте имеет смысл разобраться с классической задачей о трёх мудрецах. Ну а поскольку в комментариях к продолжению задачи о голубоглазых на острове возникла дискуссия на тему корректности некоторых переходов, то я слегка переформулирую эту классику, сохранив суть.

Задача: Три островитянина праздновали день рождения одного из них, поедая торт с кремовыми розочками. Они так увлеклись беседой, а торт был таким вкусным, что все трое основательно перепачкали лица. Проходящий мимо человек сказал: «Крем на щеках!». Они так и не поняли, к кому обращался прохожий, но точно поняли, что хотя бы у одного из них лицо грязное.

Что было дальше? Как вы понимаете, каждый из них видел, что перед ним есть ровно два островитянина с перепачканными лицами. И никаких зеркал вокруг нет, так как они на острове Беззеркалья, поэтому себя увидеть нельзя. Осознав это, они разом замолчали, уставившись друг на друга.

Вопрос: как каждому из них удалось догадаться, что у него тоже грязное лицо?

Подсказка: легко понять, что раз каждый из них видел двух соседей с перепачканными кремом лицами, то фраза прохожего вроде бы ничего нового не добавила.

Итак, скоро вы убедитесь, что наши островитяне вытрутся салфетками, широко улыбнутся и продолжат беседу. Эта задача очень легко решается, но, похоже, является необходимой ступенькой на пути к пониманию хитросплетений огромного острова, на котором живут очень умные сектанты. Если ранее задача об острове вам не поддалась, то приглашаю обдумать всё ещё раз - теперь должно быть легче.

Хорошего дня!