Добрый день!
Сегодня у нас три темы: бессмысленный круглый номер, самая полезная мысль и забавная задачка из детского журнала.
0) Да, это 512 запись в этом блоге. Поскольку я занимаюсь математикой и программированием, то для меня это не пустой звук, а 2^9. Недавнее пятилетие блога тоже было в каком-то смысле круглым, но в данном случае для нумерации потребовался бит номер 10, поэтому нам, десятипалым, число 512 особенно дорого :)
1) Если ещё этого не сделали, то поговорите со своими родителями, бабушками и дедушками, тётями и дядями, сёстрами и братьями о следующем: иногда мошенники внезапно сообщают по телефону, что вы сделали что-то опасное и незаконное, поэтому надо срочно отдать им деньги, чтобы вас «отмазать». Почти все знают об этом мошенничестве, но мало кто подготовил своих родственников к такому звонку. Сделайте это!
Как инструктировать? Договоритесь о простых вещах:
- Научите родных, что надо спросить у звонящего, как зовут его и себя (зачастую мошенники, говоря «мама, я сбил человека», не знают, ни имени своего собеседника, ни «своего» имени). Отрепетируйте это! Находясь в комнате с обучаемым, позвоните ему на телефон и произнесите: «Мама, я сделал то-то, срочно нужны деньги», убедитесь, что мама ответит: «Сынок, а как тебя зовут? А меня?» Такое начало беседы может вынудить мошенника сразу бросить трубку, чтобы не терять зря время.
- Обсудите с родными, что мошенники для повышения эффективности своих звонков покупают телефонные базы, в которых могут быть даты рождения и имена абонентов. Это значит, что на какие-то вопросы мошенник ответ знать сможет. Но он не знает номер роддома, в котором вы родились, не знает, на какой улице живёт тётя Лена, не знает, имени вашей собаки или кошки (вспомните фильм «Терминатор 2»). Не все успеют сообразить, что надо действовать, как робот из будущего, поэтому надо прокрутить этот сценарий в голове заранее. И заранее надо помнить, что голоса у людей могут казаться сколь угодно похожими, если слушатель в стрессе (см. старую историю).
- Ещё можно научить близких следующему трюку: сымитируйте, что дома есть ещё кто-то, сказав в трубку «я сейчас передам трубку Коле/Ане». Когда трубка радостно заверещит «Коленька/Анечка, помоги», то можно радостно сбрасывать вызов, так как никаких Коли и Ани дома никогда не было.
- Ну и последнее: объясните своим близким, что если что-то нехорошее произойдёт, то вам в голову не придёт их беспокоить! У вас есть много хороших друзей, которые гораздо лучше умеют решать подобные проблемы. Ясно же, что вы позвоните именно им, а не своей бабушке! Постарайтесь, чтобы бабушка твёрдо это знала! Возможно, ваш телефон будет выключен в тот момент, когда мошенники решат позвонить вашей бабушке. Что ей делать? Пугаться? Нет! Переживать должен тот, кто может что-то сделать, поэтому она должна знать, кому из ваших близких друзей или более крепких родственников звонить в такой ситуации!
Зачем нужен этот последний пункт? Мошенники могут сказать: «Ваш пьяный сын зарезал человека, сейчас срочно нужны деньги, чтобы его освободить!» Если попросить дать трубку сыну, то они ответят, что вы сейчас в камере, поэтому не можете говорить, например. Тут вашим близким и пригодится понимание, что в любой плохой ситуации вы бы дали номер телефона своего молодого и умного друга, а не замирающих в панике родителей. Шутки-шутками, но погуглите новости по этой теме (иногда люди, у которых есть только дочь, которая не умеет водить машину, вносят выкуп за «их сына», который въехал «в машину депутата» — это не значит, что эти люди идиоты, а значит, что неожиданно получив негативную весть о близком человеке, люди легко потерют голову).
И ещё одна мысль: часто мошенники звонят ночью, когда человек соображает ещё хуже, чем обычно. Мозг ещё не проснулся, глаза ещё не привыкли к свету, а тут надо резко вникать, кто и кого опять избил, сколько денег срочно надо на адвоката и так далее. Поэтому может быть полезно научить пожилых близких выключать стационарные телефоны на ночь, чтобы в разы снизить вероятность подобных проблем. Но это вопрос очень индивидуальный, продумайте возможные сценарии.
Почему это работает? Потому что «с той стороны» сидят опытные люди, которые умеют имитировать тревожный голос и истошно кричать фразы, выводящие человека из равновесия. Они будут вываливать в бедные сонные уши страшные подробности, добиваясь включения сильных эмоций и отключения логики. Они это умеют, а мы ещё не подготовились. Поэтому наши взрослые родственники обычно не успевают подумать — их держат в постоянном напряжении, не давая опомниться.
И я всё это пишу не из-за того, что мне жалко, что какие-то уголовники (см. статью, например) доведут чьих-то близких до терминала Киви для перевода им всех денег, что нашлись в доме. Потеря денег — это досадно, стать жертвами мошенников — это неприятно. Но это всё ерунда по сравнению с потерей здоровья из-за шока неподготовленного человека! Мошенники ежегодно доводят до реанимации и даже морга людей, которые уже слишком слабы, чтобы переварить страшную новость! Подумайте об этом, это ваша задача (раз те подонки сами не понимают, что из-за их «бизнеса» люди иногда теряют самое ценное — жизнь). Даже у подготовленного человека после такого звонка весь день может быть дрожь в руках и повышенное давление, но неподготовленному справиться с подобным звонком ещё сложнее.
Поговорите со своими близкими. И посоветуйте сделать это же своим друзьям.
Познавательно по теме:
- Как увеличить вероятность звонка мошенников на свой номер?
- Каким способом мошенники забирают деньги напуганных людей?
- Что не делать, если пришла смс «Ваша карта заблокирована»?
- Что делать, если ставят диагноз по телефону?
- Как ещё обманывают пенсионеров?
- Насколько уязвим человеческий мозг под давлением?
Дайте своим родным хотя бы часть этой информации, чтобы уменьшить возможный вред их здоровью, когда мошенники позвонят. Поделитесь ссылкой на заметку в Twitter, Google+, Facebook или Вконтакте.
2) А теперь о хорошем: в комментариях к нашей недавней заметке о том, как обдумывать задачку, Suphair предложил интересную формулировку из журнала «Смурфики»:
Мы решили устроить праздник, и мне поручили зажечь фонарики. Одной спичкой я зажигаю четыре фонарика, но один непременно гаснет. Можешь сосчитать, сколько спичек мне придется потратить, чтобы зажечь 24 фонарика?
Я не уверен, что авторы журнала планировали, что задачка будет столь полезной. Впрочем, насколько она полезна мы узнаем только после того, как вы напишете в комментариях свой ответ (с кратким пояснением, если захотите), не читая чужих комментариев, конечно.
Хорошего окончания недели!
21 нояб. 2013 г.
512 - самая полезная заметка
Подписаться на:
Комментарии к сообщению (Atom)
Понравилась заметка? Подпишитесь на
RSS-feed или email-рассылку.
Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
RSS-feed или email-рассылку.Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
24 фонарика - 6 спичек - 6 гаснет (осталось 6)
ОтветитьУдалить4 фонарика - 1 спичка - 1 гаснет (осталось 3)
3 фонарика - 1 спичка
Итого 8 спичек
От восьми, до бесконечности, в зависимости от того, что значит "но один непременно гаснет".
ОтветитьУдалитьХа-ха! Точно! Ведь возможно, что это означает: "Один и тот же непременно гаснет", Тогда первыми пятью спичками можно зажечь любые 20, кроме "проблемного", а из оставшихся четырёх зажжётся только три, сколько ни пробуй. Вы это имели в виду?
УдалитьСкорее всего, гаснет последний -- догорающую спичку держали около него меньшее время.
УдалитьДумаю, что восемь. Если из четырёх зажигаемых одной спичкой фонариков гаснет только один, то можно считать, что одна спичка гарантированно зажигает три.
ОтветитьУдалитьНо это, разумеется, если фонарики нельзя зажигать друг от друга с помощью какой-нибудь щепки или бумажки. (Тогда и одной спички хватит)
Одна. Фонарики зажигать друг от друга
ОтветитьУдалитьВ условии не сказано, что их можно зажигать друг от друга.
УдалитьЗадача неоднозначна: не говорится о том, гаснет ли один из зажжённых фонариков, если их зажигать меньше четырёх.
ОтветитьУдалитьЕсли да - то все фонарики зажечь никогда не удастся:
Каждая спичка от 1 до 7 зажгёт 3 фонарика, и один зажгёт неудачно. Восьмой спичкой будет зажжено три оставшихся фонарика, но один _непременно_ погаснет. Девятая и следующие спички будет зажигать этот один фонарик, но он будет _непременно_ гаснуть.
Если гаснет только червёртый из зажженых одной спичкой - то хватит восемь спичек.
В английском языке есть хорошая пословица: beauty is in the eye(s) of the beholder. То есть, красота – это то, что мы любим. Или, как написал Тютчев Ф.И. в своём стихотворении
ОтветитьУдалитьК почтеннейшему имениннику Филиппу Филипповичу Вигелю:
Прими как дар любви мое изображенье,
Конечно, ты его оценишь и поймешь, —
Припомни лишь при сем простое изреченье:
«Не по хорошу мил, а по милу хорош».
В этом же русле, полезность – не абсолютная величина; она зависит от того, кто делает оценку. Говоря о полезности этой задачки, Илья, по-видимому, имел в виду Парадокс Бертрана (с хордой окружности).
Если вам кажется, что эта задачка не имеет однозначного решения, полезно попытаться понять сущность парадокса Бертрана.
Вот цитата из книги E.T.Jaynes “Probability Theory: The Logic of Science”, где автор, после перечисления трёх «решений» задачи Бертрана, пишет:
Какое решение правильное? Из десяти авторов (Bertrand 1889; Borel 1909, Poincare 1912; Uspensky 1937; Northrop 1944; von Mises 1957; Gnedenko 1962; Kendell and Moran 1963; Mosteller 1965), только Борель высказал определенное предпочтение, хотя он не поддерживает свой выбор доказательством. Фон Мизес, придерживаясь другой крайней точки зрения, заявляет, что такие проблемы (включая похожую задачу Буффона с иглой) вообще не являются предметом теории вероятностей. Другие, включая Бертрана, придерживаются промежуточной позиции, согласно которой задача просто не имеет определенного решения, потому что она поставлена некорректно ввиду расплывчатой фразы «случайный выбор хорды».
Так в чём состоит однозначность решения предложенной задачки?
А чем Вам, Arthur, не нравится решение, приведенное в статье E.T.Jaynes "The Well-Posed Problem"(1973) ?!
УдалитьУ меня нет претензий к решению проблемы Бертрана, предложенному E.T.Jaynes в статье "The Well-Posed Problem" за исключением, пожалуй, того, что оно череcчур громоздкое и сложное.
УдалитьМой дебют в блоге Ильи Весеннего начался с предложения гораздо более простого решения этой проблемы, которое удовлетворяет условиям инвариантности, о которых говорит Jaynes в своей статье. Вот ссылки на мое решение:
Часть I
Часть II
Arthur, Вы совершенно правы и Ваше решение проще и наглядней, нежели все эти ухищрения с интегралами и инвариантами.
УдалитьЯ пришел к аналогичным выводам после прочтения "The Well Posed Problem",
но несколько другим путем.
Во-первых, вполне логично определить хорду, как результат некоторой математической операции над двумя геометрическими фигурами, а именно, как множество точек общих для некоторого круга, ограниченного окружностью, и некоторой прямой, пересекающей эту окружность.
Тогда случайную хорду можно определить, как результат пересечения случайной окружности и случайной прямой.
В такой интерпретации очевидным является эксперимент, в ходе которого на плоскость в случайном порядке, "наудачу", падают окружности радиуса R, и прямые линии. Понятно, что в результате данного экcперимента, будет определена вероятность случайной хорды быть больше (или меньше) стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность. Но, я могу выбрать любую окружность и, считая ее фиксированной, рассмотреть все хорды, полученные пересечением данной окружности случайными прямыми. Эта задача аналогична задаче Бертрана.
С другой стороны, я могу выбрать любую прямую, и, считая ее фиксированной, рассмотреть все хорды, полученные покрытием данной прямой случайными окружностями. Поскольку речь идет об одном и том же наборе случайных прямых и случайных окружностей, полученных в результате одного эксперимента, то искомая вероятность не должна зависеть от способа подсчета.
Но, вероятность того, что случайная окружность, упавшая на фиксированную прямую даст в результате хорду, большую (или меньшую) стороны равностороннего треугольника, легко и, что самое главное, однозначно вычисляется.
И равна она 1/2. Следовательно, и вероятность случайной прямой, упавшей на фиксированную окружность образовать хорду с указанными в условии свойствами также будет равна 1/2.
Arthur, я внимательно рассмотрел Ваше решение задачи Бертрана, оно мне нравится, и я предлагаю небольшое упрощение доказательства однозначности решения.
УдалитьДействительно, чтобы получить случайную хорду, мы должны зафиксировать на плоскости окружность некоторого радиуса r.
Случайные хорды будем получать пересечением фиксированной окружности случайной прямой.
Случайную прямую будем определять, выбрав случайную точку на всей бесконечной плоскости, и проведя через эту точку прямую в случайном направлении.
Здесь самый сложный момент - выбор случайной точки на бесконечной прямой.
Для того, чтобы упростить этот выбор, проведем некоторую концентрическую с данной окружность радиуса R>>r.
Зададимся вопросом, какова вероятность того, что случайная точка упадет внутрь окружности R, и какова вероятность того, что эта точка упадет вне окружности R.
Поскольку площадь внутри окружности любого конечного радиуса конечна, а площадь вне этой окружности бесконечна, то вероятность случайной точки упасть вне окружности будет равна 1, а вероятность упасть внутрь окружности равна 0.
Это означает, что нам достаточно рассмотреть только точки, находящиеся бесконечно далеко от нашей окружности, а в силу симметрии, только одну из этих точек.
Но теперь угол между крайними прямыми, пересекающими окружность, проведенными из бесконечно удаленной точки, равен нулю, то-есть, все прямые, проведенные из бесконечно удаленной точки и пересекающие данную окружность r - параллельны.
Теперь мы проводим перпендикуляр к этому набору параллельных прямых, и приходим к одному из решений задачи Бертрана, именно к тому, где Р=1/2.
Теперь рассмотрим остальные два решения.
То решение, которое дает вероятность 1/3 - на самом деле предполагает, что любая случайная точка падающая на бесконечную плоскость обязательно упадет на окружность r. На самом деле вероятность такого события равна нулю.
Решение которое дает нам вероятность равную 1/4 не только полагает, что все случайные точки будут падать внутрь круга, и ни одна никогда не упадет наружу.
Это решение полагает также, что любая случайная прямая проведенная через данную точку будет случайно перпендикулярна радиусу окружности, проведенному через эту точку. В этом решении сразу две ошибки, поэтому полученный результат еще дальше от правильного: 1/4<1/3<1/2.
Исходя из вышесказанного, мы можем объединить наконец все три решения задачи Бертрана в одну формулу полной вероятности:
P=0*(1/4)+0*(1/3)+1*(1/2) =1/2, где ноль в первом слагаемом есть вероятность того, что все случайные точки на плоскости упадут внутрь окружности r, а ноль во втором слагаемом есть вероятность того, что все случайные точки упадут на окружность.
Единица в третьем слагаемом есть вероятность того, что почти все точки упадут вне окружности R при R стремящемся к бесконечности...
Лукомор, я должен отметить, что вы совершаете очень распространенный (даже среди великих математиков) грех, об опасности которого предупреждал еще Гаусс. Грех этот заключается в том, что вы сначала головой вниз бросаетесь в омут бесконечности, и затем уже оперируете получившимися в результате этого безрассудного поступка величинами. Именно этот первородный математический грех лежит в корне практически всех парадоксов, связанных с бесконечностью – не только в теории вероятностей, но и в математике вообще.
УдалитьПравильный порядок действий должен быть с точностью до наоборот: сначала следует решить задачу с конечными параметрами, и только после этого переходить к пределу в полученном решении.
I protest against the use of infinite magnitude as something accomplished, which is never permissible in mathematics. Infinity is merely a figure of speech, the true meaning being a limit. - C. F. Gauss
Если говорить конкретно, вот что получается в вашем случае. У вас выпали из рассмотрения точки, лежащие в области между r и R. Вы не можете игнорировать эти точки, потому что при R → ∞ эта область тоже становится бесконечной.
Смотрите 15-ю главу библии теории вероятностей Probability Theory: The Logic of Science; она озаглавлена Paradoxes of Probability Theory.
To Arthur Baraov.
УдалитьНачну с цитаты:"Кто без греха, путь первым кинет камень"...
Если Вы заметили, я запостил сразу два решения.
В первом сообщении (Лукомор14.01.14, 6:40), моё собственное видение проблемы, где я расширяю и углубляю идею Эдвина Джейнса о дожде из соломинок или прутиков,
собственной оригинальной идеей о дожде из соломинок или прутиков вперемешку с
монетами или пуговицами (случайные прямые и случайные окружности), с дальнейшим подсчетом двумя различными способами, из коих один приводит к парадоксу Бертрана, а второй недвусмысленно указывает на вероятность, равную P=1/2.
И я рад, что это сообщение не вызвало Ваших возражений.
Во втором моем сообщении (Лукомор 14.01.14, 7:36) я всего лишь сделал небольшое уточнение к Вашему решению, которое мне кажется вполне верным.
Краеугольный камень Вашего решения, как я понял, заключен в Вашей фразе:
"...при расчете вероятности, о которой идет речь в задаче, мы должны рассматривать не только точки внутри окружности, а точки во всей бесконечной эвклидовой плоскости".
Я лишь уточнил, что достаточно рассмотреть точки вне окружности, пренебрегая точками, лежащими на окружности или внутри окружности, в силу того, что площадь внутри окружности конечна, а вне ее - бесконечна. Более того, достаточно рассмотреть точки вне окружности конечного радиуса R>>r, по той же причине.
И чем больше мы выбираем отношение R/r, тем меньше угол между двумя крайними прямыми, пересекающими окружность, и тем меньше отклонение вероятности от 1/2.
И мы должны признать, что вклад точек, лежащих строго на окружности в формулу полной вероятности, ничтожно мал, по сравнению со вкладом точек, не лежащих на окружности, также и вклад точек, лежащих внутри окружности, в силу бесконечно малой площади круга, по отношению к площади всей бесконечной плоскости.
Лукомор, в первом своем сообщении вы пишете: Но, вероятность того, что случайная окружность, упавшая на фиксированную прямую даст в результате хорду, большую (или меньшую) стороны равностороннего треугольника, легко и, что самое главное, однозначно вычисляется. И равна она 1/2.
УдалитьА где вычисления то?
Теперь по второму вашему сообщению, которое призвано упростить мое решение. Вы делите плоскость на две части: (1) конечная область внутри окружности радиуса R, и (2) бесконечная область вне этой окружности. Затем вы отбрасываете первую область, поскольку ее площадь бесконечно мала по сравнению с площадью второй области, что в общем не вызывает особых возражений. Теперь вы остались наедине с бесконечной областью вне окружности радиуса R. Вопрос: чему равна плотность распределения вероятности в этой бесконечной области? С одной стороны плотность распределения должна быть равномерной, а с другой стороны интеграл от этого распределения по этой бесконечной области должна равняться единице. Нет такого распределения. Вы понимаете, в какую ловушку вы себя загнали?
Я же не зря процитировал Гаусса. С бесконечностью надо обращаться именно так, как он рекомендовал. Надо сначала исключить бесконечность, т.е. рассматривать только конечные величины, и только затем переходить к пределу, а не наоборот. Вы говорите, что внимательно изучили мое решение, но не обратили внимание (или не поняли для чего это было сделано), что я действовал прямо противоположно тому, что вы предлагаете, но в прямом соответствии с рекомендацией Гаусса: я оставил то, что находится внутри окружности радиуса R, и выбросил то, что находится за пределами этой окружности. Затем я устремил R к бесконечности, тем самым покрыв всю плоскость. Две большие разницы, как говорят в Одессе.
Правильную процедуру нельзя замещать неправильной под предлогом ее упрощения.
Прислушивайтесь внимательно к космосу, входите с ним в резонанс, и живите в согласии с ним и у вас все будет хорошо. Космос един и неделим; это мы – больные люди – думаем, в силу своей невежественности, что космос это набор отдельных и самостоятельных образований.
УдалитьP.S. Обратите внимание, что в начале файла (минута или две) космос почти не слышен.
Артур, мне тоже не удаётся понять, как выкладки Лукомора могут быть верными. Все иногда ошибаются или торопятся. Уверен, у Вас тоже бывали подобные казусы, поэтому призываю указывать на это менее эмоционально.
УдалитьTo Arthur Baraov.
УдалитьОтвечаю на Ваш вопрос:"А где вычисления то?"
В отличие от случайной прямой, случайная окружность вполне однозначно определяется положением своего центра на плоскости.
Если мы зафиксируем прямую на плоскости, и будем бросать на эту прямую случайным образом, "наудачу", окружность радиуса R (например, монету), то монета будет каждый раз покрывать некоторый отрезок прямой случайной длины L.
Этот отрезок мы вполне можем считать "случайной хордой окружности", поскольку он проходит через две какие-либо точки на краях монеты.
Длина этого, накрытого монетой, отрезка прямой зависит только от того, насколько близко к прямой находится центр монеты.
Теперь, L будет равна длине стороны вписанного в окружность треугольника, если центр окружности находится на расстоянии R/2 от прямой.
Если центр случайной окружности находится ближе, чем R/2 от прямой - хорда будет длиннее стороны треугольника.
Если центр случайной окружности находится дальше, чем R/2 от прямой - хорда будет короче стороны треугольника.
Но, мы не можем предпочесть одно расстояние центра монеты от прямой другому, поэтому считаем, что центр монеты падает равновероятно на любом расстоянии от прямой в интервале от нуля до R.
Отсюда, искомая вероятность равна:
P= (R/2) : R = 1/2.
Лукомор, я вижу две проблемы с вашими вычислениями.
Удалить(1) Множество точек с расстоянием от фиксированной прямой в интервале от нуля до R образует бесконечную полосу с бесконечной площадью. Вопрос остается тот же: чему равна плотность распределения вероятностей в этой бесконечной области? С одной стороны плотность распределения должна быть равномерной, а с другой стороны интеграл от этого распределения по этой бесконечной области должен равняться единице. Но такого распределения не существует; т.е. вам не удалось выскочить из ловушки.
(2) После фиксации этой полосы, вы бросаете произвольную окружность. Центр этой окружности действительно не может быть вне этой полосы, потому что плотность вероятностей за пределами этой полосы вы приравняли к нулю. Но почему вы думаете, что радиус этой окружности окажется равным R? Вероятность такого события практически равна нулю.
Я еще раз вам говорю, что я процитировал Гаусса не для красного словца, а для дела: к пределу надо переходить аккуратно и корректно, иначе вы можете получить все что угодно, в том числе (случайно) и правильный ответ.
Изящной демонстрацией этого факта является так называемый сапог Шварца.
To Arthur Baraov:
УдалитьНа Ваш второй вопрос:"Но почему вы думаете, что радиус этой окружности окажется равным R? Вероятность такого события практически равна нулю." ответить просто.
Эксперимент заключается в том, что я провожу прямую и начинаю бросать окружности (например монеты) радиуса R. Действительно, если центр монеты окажется на расстоянии большем, чем R - она не накроет ни одной точки начерченной прямой и хорды не получится.
Если центр монеты окажется на расстоянии меньшем R - монета накроет некоторую часть прямой линии, и этот отрезок прямой можно считать хордой, соединяющей две точки на краях монеты.
Теперь я считаю, что расстояние центра упавшей монеты от прямой - случайная величина , равномерно распределенная на отрезке от нуля до R, проведенном через центр упавшей монеты перпендикулярно данной прямой.
Я могу сделать еще более красиво: провести на плоскости параллельные прямые на расстоянии 2*R друг от друга.
Это будет примерно так, как в задаче об игле Бюффона, с той лишь разницей, что монета при каждом броске будет накрывать отрезок какой- либо одной из прямых.
На вопрос:"чему равна плотность распределения вероятностей в этой бесконечной области?", отвечаю: - поскольку окружности,центры которых лежат на одинаковом расстоянии от прямой, образуют одинаковые по длине хорды, достаточно рассмотреть одно множество окружностей, центры которых лежат на одной прямой, перпендикулярной к нашей исходной прямой на интервале от нуля до R и построить функцию распределения длин хорд в зависимости от расстояния центра окружности до прямой и найти вероятность..
Иными словами вероятностной мерой здесь будет не бесконечная площадь полосы, а всего лишь конечный отрезок длиной R, на которой мы можем выбрать равномерное распределение вероятности.
Очень хорошо. Смотрите, что у вас теперь получается. Вы ЗАМОРОЗИЛИ значение бросаемой окружности величиной R и затем (вполне обоснованно) заключили, что для плотности распределения вероятностей приземления центра окружности можно ограничиться полосой с шириной 2R, после чего вы (тоже вполне обоснованно) сжали всю эту бесконечную полосу в отрезок длиной 2R и, наконец, (опять обоснованно) вы приняли равномерное распределение плотности вероятностей на этом отрезке. В результате у вас получился окончательный результат для искомой вероятности 1/2.
УдалитьНадеюсь, я ничего не исказил в ваших рассуждениях.
Вы сформулировали свою собственную задачу и правильно решили ее! Ну и что? Какое отношение эта ваша задача имеет к исходной задаче?
To Arthur Baraov:
УдалитьНа вопрос:"Какое отношение эта ваша задача имеет к исходной задаче?"
Отвечаю.
Я проанализировал несколько задач подобного типа с фиксированными или подвижными окружностями и пришел к выводу, что получается буквально одна и та же область решения и, следовательно, одна и та же вероятностная мера, для задачи в которой некоторая фиксированная замкнутая выпуклая кривая пересекается случайной прямой, и для задачи где фиксированная прямая пересекается случайной замкнутой выпуклой кривой.
Впрочем, на Ваш вопрос ответил еще Анри Пуанкаре в 1912 году.
Именно тогда вышел сборник его лекций по теории вероятностей (Henri Poincare "Calcul des probabilities". Paris,1912).
К сожалению, вынужден прерваться, продолжу позднее или завтра...
Я продолжаю свое повествование...
УдалитьВ сборнике лекций по теории вероятностей А. Пуанкаре (Henri Poincare "Calcul des probabilities". Paris,1912) седьмая глава посвящена непрерывным (геометрическим) вероятностям. Начинается она с рассмотрения парадокса Бертрана, где Пуанкаре не отдает предпочтения ни одному из классических методов подсчета вероятности. Однако далее он рассматривает известную задачу об игле Бюффона, и затем распространяет ее решение на случай бросания произвольной случайной кривой на фиксированную прямую линию, сделав при этом вывод, что вероятность случайной произвольной кривой пересечь фиксированную прямую пропорциональна длине кривой линии. Завершая седьмую главу Пуанкаре пишет следующее
(я цитирую по русскому переводу:
Пуанкаре А. - Теория вероятностей. 284 стр. Ижевск, РХД, 1999,
книга доступна для скачивания или для чтения он-лайн):
---------------
"Вернемся к парадоксу Бертрана, связанному с вероятностью того, что хорда некоторой окружности будет меньше стороны вписанного в нее правильного треугольника.
Проведем окружность С', концентрическую к первой, С, так, чтобы радиус С' был в два раза меньше. Случайным образом помещаем на чертеж отрезок. ...
Я могу считать отрезок фиксированным, а окружности - подвижными. Вероятность того, что одна из окружностей пересекает отрезок, пропорциональна ее длине; тогда вероятность того, что С' пересекает отрезок, равна отношению длин двух окружностей, т.е. 1/2.
Так мы возвращаемся к одной из гипотез Бертрана."
---(стр.109)---
Из процитированного мною отрывка видно, что Пуанкаре считает вполне допустимым рассматривать вместо случайных прямых, бросаемых на фиксированную окружность, случайные окружности, бросаемые на фиксированную прямую, чтобы найти вероятность того, что случайная хорда будет меньше стороны вписанного треугольника.
Получается, что я не предложил ничего, сверх рассмотренного Пуанкаре (и Джейнсом), лишь слегка сдвигаю акценты в сторону случайного "дождя из соломинок и монет", равномерно покрывающего плоскость. При этом, с одной стороны, для любой случайно выбранной монеты (считая ее фиксированной) искомая вероятность зависит от способа ее вычисления (по Бертрану), С другой стороны для любой случайно выбранной соломинки (считая ее фиксированной) искомая вероятность равна 1/2 (по Пуанкаре).
Поскольку рассматриваем один и тот же набор случайно впавших соломинок и монет, получаем, что вероятность "по Бертрану" должна совпадать с вероятностью "по Пуанкаре".
Лукомор говорит: Пуанкаре считает вполне допустимым рассматривать вместо случайных прямых, бросаемых на фиксированную окружность, случайные окружности, бросаемые на фиксированную прямую, чтобы найти вероятность того, что случайная хорда будет меньше стороны вписанного треугольника.
УдалитьПуанкаре был умным человеком, а когда умный человек говорит, следует прислушаться внимательно, … если даже он не прав. А зачем нам фиксировать что-то? Не является ли наиболее объемлющим сценарием, когда мы не фиксируем ни прямую линию, ни положение окружности, ни радиус окружности?
Максвелл тоже был умным человеком. И совершенно не случайно, что именно из-за возражений этих двух умных людей - Пуанкаре и Максвелла - была отвергнута Теория Ле Сажа, которая пыталась дать механическое объяснение механизму гравитации. Эти умные люди обратили внимание, что теория Ле Сажа приводит к неразрешимым противоречиям с точки зрения существовавших тогда (и существующих по сей день) термодинамических воззрений. При этом ни Пуанкаре, ни Максвеллу не пришла в голову мысль, что, может быть, эти термодинамические воззрения не являются такими уж безупречными. Но это долгий разговор.
Скажу только, что неразрешимые проблемы, которые накопились сегодня в физике, восходят к Ньютону. Существует расхожее мнение, что Эйнштейн исправил небольшие промахи Ньютона, но, в общем и целом, механика Ньютона вполне адекватная теория для описания мира. Мне же представляется, что Эйнштейн изуродовал до неузнаваемости механику Ньютона, которая и без того была очень убогой, поскольку не учитывала самого главного типа движения: кручения. Обратите внимание, что я сказал кручение (от глагола крутиться), а не вращение (от глагола вращаться). Именно поэтому механика Ньютона оказалась абсолютно беспомощной в описании таких явлений как турбулентность и электромагнетизм.
Максвелл был на правильном пути в исправлении этого колоссального упущения Ньютона, когда он выбрал подходящий для этой цели математический аппарат – теорию кватернионов Гамильтона. Но Максвелл, к сожалению, умер в сравнительно молодом возрасте, не успев довести дело до логического конца. Хевисайд же, после смерти Максвелла, фактически свел на нет все его усилия по оздоровлению физики: он выбросил кватернионы в пользу векторного анализа и, тем самым, фактически кастрировал здоровое начало в подходе Максвелла. Затем, с появлением Эйнштейна, все окончательно пошло коту под хвост.
Болезнь зашла так далеко, что без серьезного хирургического вмешательства никак не обойтись. Нам необходимо вернуться к Ньютону и заново проанализировать все, начиная с очень полезного (с практической точки зрения) и вместе с тем очень вредного (в мировоззренческом плане) понятия абсолютного пространства и времени.
Этот процесс оздоровления науки уже запущен.
Прочитайте внимательно все комментарии от начала до конца, которые были сделаны на следующем форуме (следует прежде запастись хорошим браузером типа Uran или Google): The Way Electricity Runs In A Wire
На вопрос:"Не является ли наиболее объемлющим сценарием, когда мы не фиксируем ни прямую линию, ни положение окружности, ни радиус окружности?", - следует ответить:"Нет!", по крайней мере в части, касающейся радиуса окружности, просто потому, что в исходной задаче Бертрана, которую мы пытаемся корректно решить, речь идет о конкретной окружности, имеющей определенный радиус.
УдалитьДостаточно 8-ми спичек і 25 фонариков.
ОтветитьУдалитьВ поисках «единственно правильного» решения этой (и любой другой) задачи, главная идея состоит в том, чтобы не убавлять и не добавлять (скрыто или явно) ничего к тому, что задано в условиях задачи. То есть следовать главному девизу Ньютона «hypotheses non fingo» в его методологии научного познания.
ОтветитьУдалитьДавайте проанализируем предложенные решения на соответствие этому девизу. Кто-то пришёл к такому ответу: От восьми, до бесконечности, в зависимости от того, что значит "но один непременно гаснет". Он правильно отмечает, что смысл выражения "но один непременно гаснет" можно истолковать по-разному. Но он не видит ответа, который не зависит от того, какую именно интерпретацию мы дадим. Я уже не говорю о том, что предложение и предпочтение той или иной интерпретации уже противоречит нашему девизу «не измышлять гипотез».
Другой приходит к выводу, что все фонарики зажечь никогда не удастся. Свой вывод он аргументирует так: Задача неоднозначна: не говорится о том, гаснет ли один из зажжённых фонариков, если их зажигать меньше четырёх. Здесь он, похоже, не только делает допущение, которого нет в условиях задачи, но даже не подозревает, что он делает это допущение. В чём состоит это допущение? Он почему-то решил, что фонариков всего 24, а не 25 или больше. А из условий задачи этого никак не следует.
Но самое главное и самое скрытое допущение всех предложенных ответов, без исключения, состоит в том, что … Впрочем, я не хочу лишить вас удовольствия самим догадаться в чём оно состоит, после чего очень легко дать «единственно правильный» и однозначный ответ.
Да, этот вопрос правильных трактовок часто встаёт, когда задача сформулирована не очень корректно. Впрочем, чтобы отнести задачу к этой категории, тоже нужен какой-то набор правил, поэтому и здесь есть возможность походить по кругу.
УдалитьТри дня назад я присутствовал на очень интересной лекции В.А.Ацюковского «Общая эфиродинамика», которая проходила в здании физфака МГУ.
ОтветитьУдалитьСуществует огромное количество людей (как в России, так и за рубежом), которые чётко видят тупиковое состояние сегодняшней теоретической физики. Как правило, это люди практического склада ума: изобретатели, электротехники, прикладники в разных областях и т.д. Каждый из них, часто после очень долгого и мучительного поиска ответа на тот или иной вопрос, с которым он столкнулся на практике, в рамках современной научной парадигмы, и окончательно потеряв надежду на успех такого предприятия, начинает предлагать свой выход из создавшегося тупика.
Иногда дело доходит до того, что сомнения возникают в прочности даже того фундамента, который был заложен Ньютоном. Например, проф. Laithwaite - изобретатель с мировым именем, которого трудно обвинить в дилетантстве - приходит к выводу, что уравнения Ньютона требуют очень серьёзной модификации, когда мы имеем дело с вращением. Он провёл огромное количество экспериментов с гироскопами, и он сомневается, что уравнения Эйлера о движении абсолютно твердых тел в состоянии адекватно описать то огромное количество гироскопических эффектов, которые он наблюдал экспериментально. Например, почему быстро вращающийся тяжёлый предмет удаётся поднять с лёгкостью пёрышки?
Ацюковский – один из тех неуемных, кто сомневается. Более того, он убеждён, что науку спасут «дилетанты». В своей книге, которая так и называется Науку спасут дилетанты, в качестве доказательства своего тезиса, он познакомит вас с некоторыми дилетантами из прошлого. Список дилетантов вызовет у вас приятное удивление. По крайней мере, такова была моя реакция.
Но почему я вспомнил о нём, и какое отношение имеет его лекция к теме данной заметки?
Продолжение следует …
Вспомнил я об Ацюковском, потому что хотел: (1) поделиться открытием очень интересного человека, и (2) на его примере проиллюстрировать смысл девиза (или правила, если хотите) Ньютона «гипотез не измышляю».
Удалить(1) Я не нашёл Ацюковского – я его именно открыл. Можно идти, идти по дороге и найти что-то. Это – находка. Открытие же – совсем другое. Открытие – это нечто важное, о существовании которого ты догадываешься на основе определённых умозаключений, и затем, в результате целенаправленного поиска, находишь это нечто.
На определённом этапе размышлений о природе электромагнетизма, я пришёл к выводу: то, что мы привычно называем электрическим зарядом, имеет векторную, а не скалярную природу. Поскольку рассуждения, которые привели меня к такому, нелепому с точки зрения современной физики, выводу казались мне обоснованными, то напрашивался другой индуктивный вывод: Если я прав в своём выводе о природе электрического заряда, то обязательно должны быть серьёзные люди, которые пришли к такому же выводу.
Мои поиски привели к двум таким людям. Один из них некий Joseph Newman – американский изобретатель, уровень знания математики которого, по-видимому, не превышает соответствующего уровня Фарадея – самого великого, как считают многие, экспериментатора за всю историю науки. Его книга под названием “The Energy Machine of Joseph Newman” стала, после 8 изданий, библиографической редкостью и продаётся в амазоне за $500-600. Книга начинается так:
Глава 1
надлежащий исторический ракурс
Я не могу представить себе искривленные силовые линии в условиях отсутствия соответствующей физической среды в промежуточном пространстве – Майкл Фарадей
В моих поисках абсолютной истины в течение последних 19 лет, я часто спрашивал себя: почему выводы, к которым я прихожу на основе знакомства с современными учениями в области физики, электротехники и астрономии, не совпадают с аналогичными выводами научной общественности в целом.
Ответ, пожалуй, состоит в том, что в течение последних 23 лет я зарабатывал на хлеб насущный, занимаясь исключительно изобретательской деятельностью. Изобретатель – это профессия, которая все время требует постановки вопросов типа «КАК» и «ПОЧЕМУ»; после получения ответов на эти вопросы следует глубокая творческая мысль, направленная на поиск реальных технологических новшеств.
Суть же сегодняшней системы обучения – начиная от начальной общеобразовательной школы и кончая колледжами – состоит в запоминании. Чем выше способность студента запоминать содержание учебников, допущенных сегодняшней системой образования, тем выше получаемая студентом оценка. Кроме того, темпы и способы обучения основам науки есть, что называется, «галопом по Европам». Эта система, которая была и остается серьезнейшим препятствием на пути прогресса науки, практически не оставляет места для глубокого осмысления вопросов типа «КАК» и «ПОЧЕМУ».
Продолжение следует …
В среду, 20 ноября, на подходе к зданию физфака МГУ, я увидел пожилого человека с 2-колёсной сумкой-тележкой, который шёл в обратном направлении. В нём я узнал Владимира Акимовича Ацюковского.
Удалить– Владимир Акимович? – обратился я к нему.
Он немного опешил и ответил вопросом на вопрос:
– Володя?
– Нет, я не Володя, – ответил я.
– Не пытайтесь угадать: я Вас знаю, а Вы меня нет.
Я осведомился, можно ли составить ему компанию, на что он охотно согласился:
– Очень хорошо, мне как раз нужно зайти в это здание, а Вы посторожите мою тележку.
– А Вы не боитесь, что я исчезну вместе с Вашей тележкой?
Он не боялся. И вообще, как оказалось, он не из робкого десятка.
Так я познакомился с Владимиром Акимовичем. Хочу и вас познакомить с этим далеко не ординарным человеком.
Чтобы составить правильное представление об уровне его работ, я бы рекомендовал скачать его книгу Эфиродинамические основы электромагнетизма и хотя бы полистать её.
Ну а для аудио-визуального знакомства с его общим мировоззрением, можно обратиться к ролику О кризисах. 11.12.2010.
Возвращаясь к девизу Ньютона «гипотез не измышляю».
УдалитьПосле доклада Ацюковского на семинаре в МГУ выступил некий Андрей (вечный оппонент – как его называет сам Ацюковский – он уже больше десяти лет посещает все публичные выступления Владимира Акимыча и «разоблачает» его). Непримиримый Андрей и на этот раз был верен себе и обличал Ацюковского в том, что вся его эфиродинамика – это гипотезы, которые сидят на гипотезах, и гипотезами погоняют. Андрей при этом ссылался на Ньютона, который «гипотез не измышлял».
Ацюковский же, в свою очередь, обличает основоположников теории относительности и квантовой механики в том, что эти теории основаны на постулатах и аксиомах.
После выступления Андрея я подошёл к нему и спросил: Как он себе представляет делание науки, не прибегая к помощи гипотез? Неужели он думает, что науку можно строить как дедуктивную математическую теорию, основанную на каких-то аксиомах. Оказалось, что он так не думает. Но он думает, что есть «хорошие» гипотезы, а есть «плохие» гипотезы, и, мол, девиз Ньютона «гипотез не измышляю» как раз и состоит в том, что он выдвигал «хорошие» гипотезы и отказывался измышлять «плохие» гипотезы.
К сожалению Андрей убежал, прежде чем он успел ответить на очередной мой вопрос: А судьи-то кто? Почему Ньютон считал, что он выдвигает гипотезы, а другие их измышляют?
Так что, мне пришлось самому искать ответы на мои вопросы.
Очерки истории философской мысли Койре проливает определённый свет на то, что же имел в виду Ньютон, когда он заявил «гипотез не измышляю».
Артур, спасибо за интересные ссылки!
Удалить6 спичек :) а сколько останется гореть - это другой вопрос))
ОтветитьУдалитьСовершенно верно! Для пущей убедительности можно добавить (хотя это и не обязательно), что к моменту, когда мы зажжём 24-й фонарик, не исключено, что все 24 фонарика будут одновременно гореть какое-то время. Почему? Потому что "непременно гаснет" не означает "немедленно гаснет".
УдалитьВот аналогичный пример решения похожей задачки:
Удалить----------
ххх:"На складе было 10 т(тонн) крыжовника, влажностью 99%. Через некоторое время из-за усушки влажность крыжовника уменьшилась на 1 % (процент). Сколько тонн крыжовника стало на складе?"
yyy: "10 тонн"
xxx: "эээ, почему?"
yyy: "потому что в накладной 10 тонн"
:)
--------------------------------------
6 спичек т.к. не требуется чтобы все они горели одновременно.
ОтветитьУдалитьКстати, остальные 3 из 4х фонарика тоже _непременно_ погаснут! Они же не вечные! )))
а если требовать одновременно горения и считать что один из четырех гаснет после окончания текущей спички, но до начала следующей, то потребуется 8 спичек
ибо (4-1)*7+4>24 а (4-1)*6+4<24
Похоже, что мы общими усилиями разобрались и нашли единственно правильное решение этой задачки. Поэтому я хочу предложить похожую по духу, но несравненно более глубокую по своему значению (и нерешённую до сих пор, насколько я могу судить) задачу на нахождение единственно правильного решения, где, как и в разобранной задачке, кажется, имеется огромное количество «правильных» решений, и не ясно как выбрать по-настоящему правильное решений из множества «правильных» решений.
ОтветитьУдалитьЧему равна кинетическая энергия тела массы m, которая движется со скоростью V? Каждый, кто помнит, чему нас учили в школе, легко ответит на этот вопрос: K=m*V*V/2.
Но давайте немножко подумаем, что же это означает. Что такое скорость? Можно ли определить скорость для одного тела? Очевидно, что нет: скорость – это относительная величина, поэтому говорить о скорости во вселенной, где нет других тел, не имеет смысла; т.е. получается, что не имеет смысла говорить о кинетической энергии отдельно взятого тела. Следовательно, говоря о кинетической энергии, мы должны оперировать, по крайней мере, двумя телами.
Берём два тела – одно с массой m, другое с массой M. Пусть эти тела приближаются к друг к другу со скоростью V. Теперь, кажется, можно сделать следующие заявления:
(1) Тело m обладает относительной кинетической энергией K=m*V*V/2 по отношению к телу M.
(2) Тело M обладает относительной кинетической энергией K=M*V*V/2 по отношению к телу m.
(3) Тела m и M обладают в совокупности абсолютной кинетической энергией K=(m+M)*V*V/2. Абсолютной в том смысле, что эта совокупная энергия не зависит от системы отсчёта (покоящейся или движущейся), а является лишь функцией масс тел m, M, и скорости V между этими телами.
Теперь я спрашиваю вас:
(1) Имеет ли смысл говорить о кинетической энергии одного тела по отношению к другому телу, или всё-таки имеет смысл говорить лишь о совокупной кинетической энергии двух тел?
(2) Если имеет смысл говорить лишь о совокупной кинетической энергии двух тел, то правильна ли формула K=(m+M)*V*V/2 для этой совокупной энергии?
Ещё несколько вопросов вдогонку. Представьте себе, что у нас есть два покоящихся электрических заряда q и Q на расстоянии R. Говорят, что существует потенциальная энергия взаимодействия этих зарядов, равная по величине E=qQ/R.
УдалитьГде именно находится эта энергия: Там где находится заряд q, или там где находится заряд Q? А может быть энергия сосредоточена и там и там, и каким-то образом распределена между ними? А может быть эта энергия размазана по всему пространству, как масло по хлебу? Если так, то как мы можем смириться с мыслю, что энергия привязана к полнейшей абстракции (как это делает современная физика, которая учит нас, что электрическое поле – это не более чем математическая абстракция, принятая для удобства расчетов)? Разве можно реальное масло намазать на абстрактный хлеб? Не получается ли у нас что-то вроде улыбки Чеширского Кота: «Видала я котов без улыбки. Но улыбку без кота!..»?
Вопрос о том, где именно находится потенциальная энергия – совсем не оригинален: этому вопросу наверно столько же лет, сколько и самому понятию потенциальной энергии. Вот, например, что современные учёные мужи думают по этому поводу: Where does mgh potential energy reside exactly?
Но вот вопрос, который беспокоит меня, и который, насколько мне известно, является совершенно оригинальным: Где именно находится кинетическая энергия? По-видимому, не только «нормальному человеку», но и «учёным котам» не приходит в голову такой нелепый вопрос ввиду само собой разумеющегося ответа: Там же где и тело, а где же ещё?! Здесь, по крайней мере, не возникает подозрения, что кинетическая энергия, возможно, каким-то образом размазана по окружающему тело пространству. Но так ли уж безупречен этот, кажущийся очевидным, ответ?
А имеет ли вообще смысл спрашивать: Где именно находится энергия (кинетическая, электрическая, химическая, ядерная … и какая угодно другая)?
Поделитесь, пожалуйста, своими мыслями. Что вы думаете обо всём этом запутанном бизнесе?
Кстати, не так давно мы обсуждали движение автомобилей друг относительно друга. А потом аналогичным образом расширили те вопросы и на заряды.
УдалитьПо поводу задачи про фонарики и спички.
ОтветитьУдалитьЭта задача наглядно показывает, каких дров можно наломать, если не придерживаться строго условия, а додумывать несуществующие ограничения или расширения исходной задачи.
Условие любой задачи, как правило, состоит из нескольких пунктов, каждый из которых одинаково важен, и пренебрежение хотя бы одним из пунктов, ведет к замене одной задачи на другую, и соответственно к получению неверного ответа.
Конкретно, в предложенной задаче есть три пункта:
1. Одной спичкой можно зажечь четыре фонарика.
2. из четырех фонариков один гаснет.
3. Должно гореть 24 фонарика.
------------------------------------------------
Ели пренебречь вторым пунктом условия, получим ответ:24:4=6 спичек.
Чтобы убедиться, что этот ответ неверен, изменим второй пункт на
2а: Из четырех фонариков гаснет три.
Решив задачу, состоящую из пунктов 1-2а-3, вновь получим ответ:24:4= 6 спичек.
Интуитивно понятно, чтобы зажечь более качественные фонарики нужно меньше спичек, поэтому ответ 6 спичек можно считать неверным.
Теперь снова решим задачу, изменив второй пункт на
2в: Один фонарик гаснет.
Получаем, что количество необходимых спичек бесконечно, а мы не можем зажечь даже один фонарик, поскольку этот все время гаснущий фонарик может оказаться первым.
Исследовав таким образом условие, получаем область допустимых значений для возможного ответа к этой задаче. А именно:количество спичек не может быть меньше 6, поскольку меньшим количеством нельзя зажечь 24 фонарика, и оно может равняться бесконечности в самом неблагоприятном случае, когда ни один фонарик не загорается.
Истинный ответ, естественно, будет между двумя этими крайними значениями.
Представим сначала, то у нас имеется бесконечно много фонариков.
Зажжем первые 24 шестью спичками, и убедимся, что, в соответствии со вторым пунктом условия, 18 из них горят, а 6 не горят..
Продолжим зажигать фонарики, начиная с 25-го по 28-й.
убедимся, что теперь горит 21, не горит 7.
Берем восьмую спичку, зажигаем фонарики с 29-го по 32-й, и радуемся.
Горит 24, не горит 8, и наша задача выполнена.
Нам понадобилось 8 спичек и 32 фонарика.
Теперь представим, что у нас есть всего 24 фонарика.
Это ничего не изменит в нашем решении, так как после попытки зажечь 24-й фонарик, мы можем вернуться к первому не горящему, из тех 24-х, которые мы уже зажигали.
Таким образом, правильное решение нашей задачи:
24/(4-1)=8 спичек.