Задача о конусах

Хорошая задачка может иметь очень нетривиальное решение, поэтому много шансов, что на ней кто-то споткнется. Но сложная формулировка отпугивает, поэтому особым изяществом обладают простые и понятные задачи, которые имеют простое решение, но ещё несколько решений-обманок рядом. Тот же старый вопрос о том, что тяжелее, килограмм пуха или килограмм чугуна, может запутать многих детей. Но в этой формулировке решающего толкают к неверному ответу только с одной стороны. Чуть более сложная алгебраическая задачка была предложена здесь примерно год назад, спровоцировав немало удивления.

Изящная же задачка может содержать в себе несколько замысловатых порогов. Самоуверенный человек, найдя ответ, тут же его назовёт (и ошибётся). Но более аккуратный человек может приглядеться внимательнее, что позволит ему обнаружить свою ошибку. Он её исправит, после чего радостно назовёт ответ (и ошибётся). Если решающий заранее предупреждён о хитрой задачке или имеет хорошую интуицию, то он опять найдёт свою ошибку. И, исправив её, назовёт ответ. Но будет ли решение верным на этот раз? :)

Это мы скоро узнаем, не зря ведь разминались месяц назад.

Итак, задачка (на этот раз не скучная алгебра, а весёлая геометрия):
Два одинаковых конуса с равносторонними треугольниками со стороной 1 в осевых сечениях лежат на плоскости (т.е. в плоскости находится вершина каждого конуса, ровно одна точка с окружности и отрезок между ними, причём конусы находятся по одну сторону от плоскости). При этом конусы касаются друг друга так, что их вершины совпадают и существует ровно одна общая точка у их оснований. Надо найти расстояние от плоскости до самой далёкой точки касания одного конуса другим.

Одна просьба: не пишите пояснения и решения в комментариях к записи. Численные ответы - сколько угодно :) А решения, пожалуйста, не надо.

Удачи!