Изящная же задачка может содержать в себе несколько замысловатых порогов. Самоуверенный человек, найдя ответ, тут же его назовёт (и ошибётся). Но более аккуратный человек может приглядеться внимательнее, что позволит ему обнаружить свою ошибку. Он её исправит, после чего радостно назовёт ответ (и ошибётся). Если решающий заранее предупреждён о хитрой задачке или имеет хорошую интуицию, то он опять найдёт свою ошибку. И, исправив её, назовёт ответ. Но будет ли решение верным на этот раз? :)Это мы скоро узнаем, не зря ведь разминались месяц назад.
Итак, задачка (на этот раз не скучная алгебра, а весёлая геометрия):
Два одинаковых конуса с равносторонними треугольниками со стороной 1 в осевых сечениях лежат на плоскости (т.е. в плоскости находится вершина каждого конуса, ровно одна точка с окружности и отрезок между ними, причём конусы находятся по одну сторону от плоскости). При этом конусы касаются друг друга так, что их вершины совпадают и существует ровно одна общая точка у их оснований. Надо найти расстояние от плоскости до самой далёкой точки касания одного конуса другим.
Одна просьба: не пишите пояснения и решения в комментариях к записи. Численные ответы - сколько угодно :) А решения, пожалуйста, не надо.
Удачи!
0.5 - первый неправильный ответ, который надо было получить? ;-)
ОтветитьУдалитьУважаемый аноним, хоть это и очевидно неверный ответ, лучше не писать наводящих мыслей :)
ОтветитьУдалитьТак будет интереснее!
SL, я удалил Ваш комментарий. Думаю, Вы догадываетесь о причине :)
Мой ответ: зирроу! Если я не прав, значит, постановка задачи не удачна, вернее некорректно написано.
ОтветитьУдалитьАлексей, это не самое большое возможное расстояние от плоскости до точки касания конусов :)
ОтветитьУдалитьЧтобы было понятнее, я поправил условие. Но и в такой формулировке задача решабельна (именно из-за требования "найти расстояние от плоскости до самой далёкой точки касания").
(корень из 3)/4?
ОтветитьУдалитьsqr(3)/2
ОтветитьУдалитьНе понятно.
ОтветитьУдалитьУ конуса какое сечение? Окружность?
Алексей, сечения у конусов осевые, а это значит, что лежат в них треугольники. Удачи!
ОтветитьУдалитьКорень из трех / 4
ОтветитьУдалитьalex-mah, выше уже была озвучена такая версия :)
ОтветитьУдалитьsqrt(3)/4 - первое из неверных :)
ОтветитьУдалитьsqrt(3)/3, да? )
ОтветитьУдалитьsin (Pi/3) = (sqrt (3)) /2
ОтветитьУдалитьСинус 60 градусов. :)
0.58, SolidWorks вам в помощь :)
ОтветитьУдалитьНо откуда и как по построениям дойти пока не понял, туплю... прошел и корень из 3 на 4 и 0.5 - все не то
корень из трех пополам - теоретический предел, и я вижу, как его достичь... но может быть, я дурак и чего-то не вижу, но "помоемутак" (с) винни-пух :)
ОтветитьУдалитьИсправляюсь: (sqrt(3))/4.
ОтветитьУдалитьПохоже, так правильно. :)
1?
ОтветитьУдалитьАлександр, численное решение, найденное в САПРовом пакете - это интересно :)
ОтветитьУдалитьКстати, имея идеальный чертёж, подготовленный в такой системе, решить задачу проще. Дело в том, что часть типичных ошибок появляется из-за неправильного рисунка.
Сразу перечислю некоторые неправильные ответы (многие уже через них прошли):
0.5 (интересно, что этот ответ можно получить двумя разными неправильными способами),
1.0 (это явно слишком много, ведь высота конуса и диаметр его основания тоже равны единице),
sqrt(3)/2 (это типичная ошибка при преобразовании дробей, но, возможно, такой ответ получен и другим путём).
Кроме того, исправлюсь: я напрасно удалил ответ SL, перемудрив с интригой. Это тоже был неверный ответ. Привожу сообщение SL полностью:
«Вроде бы как 3*sqrt(3)/8. Или это второй неправильный ответ?»
а если такой вариант 0,55...
ОтветитьУдалитьили вот так sqrt(1.25)/2
sqrt(0.75)/2 = 0.433..
ОтветитьУдалитьэээ... таки "высота конуса и диаметр его основания тоже равны единице", или же "с равносторонними треугольниками со стороной 1 в осевых сечениях" ???
ОтветитьУдалитьСергей, One, Alex-mah и аноним, sqrt(3)/4 уже был озвучен несколько раз, поэтому, видимо, пора открыть на него глаза: обычно такой ответ получается на ранних этапах решения, если есть неточность в рисунке.
ОтветитьУдалить0,75 ??
ОтветитьУдалитьSergey, спасибо, что указали на ошибку в моём комментарии!
ОтветитьУдалитьКонечно, высота конусе меньше единицы, потому что в осевом сечении у него равносторонний треугольник со стороной один! Поэтому ответ 1 выглядит заведомо недостижимым.
sqrt(3)/3, как уже было выше.
ОтветитьУдалить=КОРЕНЬ(0,75)/2
ОтветитьУдалитьУважаемый первый аноним, а как получился ответ 0.75? (это мне для статистики и понимания мира :)
ОтветитьУдалитьУважаемый второй аноним, ответ КОРЕНЬ(0,75)/2 совпадает с КОРЕНЬ(3)/4, который уже был обсужден выше.
0.7?
ОтветитьУдалитьЁ, там же точка касания не срединная будет...
ОтветитьУдалитьХоть уже и озвучивали такой вариант, по некоторому размышлению получилось sqrt(3)/3.
ОтветитьУдалитьИтого моя цепочка заблуждений (?): sqrt(3)/4 -> 3*sqrt(3)/8 -> sqrt(3)/3
решение численое должно быть или символьное? если численое, то мне кажется не хватает либо радиуса основания либо величины угла конуса...
ОтветитьУдалитьмне кажется что это расстояние равно sin(Y/2), где Y-острота конуса (угол между сторонами треугольника бокового сечения)... ну или это же легко выражается через радиус основания конуса... других вариантов не нахожу
ОтветитьУдалитьпоправка: осевого сечения, а не бокового (мысли с руками в разные стороны смотрят )) )
ОтветитьУдалитьHAS, диаметр основания - единица (так как в осевом сечении равносторонний треугольник со стороной 1). А мы уже обсудили, что 0.5 - неверный ответ.
ОтветитьУдалитьперемудрил, ответ должен быть 1/sqrt(3)
ОтветитьУдалитьА у меня упрямо единица на корень из пяти получается
ОтветитьУдалить2/sqrt(13)
ОтветитьУдалитьАлександр, как получить 1/sqrt(5) я уже знаю, мне прислали неправильное решение, дающее такой ответ (там была ошибка в чертеже). Возможно, у Вас такая же проблема.
ОтветитьУдалитьnegr-o, а Вашего ответа я ещё не видел... Было бы интересно узнать, как он получен (для статистики и понимания мира).
в копилку sqrt(5)/4 *ночь, не могу заснуть:( *
ОтветитьУдалить0.25
ОтветитьУдалитьУважаемый аноним, sqrt(5)/4 - это, скорее всего, неправильное применение теоремы Пифагора (сложили квадрат гипотенузы и катета, а надо было вычесть).
ОтветитьУдалитьmmd, как получили 0.25?
Понял свою ошибку, переделал рисунок и получил 1/sqrt(5)
ОтветитьУдалитьпотом уже опубликовав понял ошибку.
пришел к 1/sqrt(3)
У меня получилось 2 / sqrt(13)
ОтветитьУдалитьУгробил пол тетрадки на рисунки.
при такой формулировке правильный ответ - корень из 3 пополам - то есть высота конуса.
ОтветитьУдалитьно это решение не очевидно, м.б. автор сам его не видит.
curl, если не трудно, напишите, пожалуйста, мне на почту mytribune AT yandex.ru - попробуем разобраться, чего автор не видит :)
ОтветитьУдалитьСудя по тому, что Вы попросили прокомментировать, я где-то неправ ;-)
ОтветитьУдалитьcos(60°) * 1/2 = 0.25
Подробности отправлены мылом.
3*sqrt(39)/16
ОтветитьУдалитьГы-гы, 5/8
ОтветитьУдалитьТоже не то?
ой, не то, не корень из 25 на 8, а корень из 15 делить на 8
ОтветитьУдалитьпока пришла к 1/sqrt(3)
ОтветитьУдалитьPolinka, that looks right. 1/sqrt(3)
ОтветитьУдалитьну раз правильный ответ на задачу уже озвучили - то:
ОтветитьУдалить...таки чем неправилен ответ sqrt(3)/2, в той ситуации, когда конусы просто совпадают?
- оба конуса лежат на плоскости в смысле условия задачи;
- оба конуса "касаются друг друга так, что их вершины совпадают";
- и наконец, "существует общая точка у их оснований".
Так как sqrt(3)/2>sqrt(3)/3 (да и вообще, высота конуса является теоретическим пределом в этой задаче), то ответ sqrt(3)/2 с точки зрения так сформулированного условия является правильным, хотя это, конечно, и жульничество (такой ответ получается без выкладок и даже без чертежа).
кстати, заметка о разборе правильных и неправильных решений была бы интересна.
Забавное замечание. Действительно, в условии можно поправить "существует общая точка" -> "существует одна общая точка".
ОтветитьУдалитьSergei, спасибо за указание на эту неточность в формулировке условия (ранее curl уже присылал это же).
ОтветитьУдалитьВ самом деле, это моя ошибка при постановке, поэтому можно считать ответ sqrt(3)/2 верным. В разборе задачи мы это обсудим.
7vies, да, я уже поправил, спасибо.
Ну, раз уж скоро будет ответ, напишу свое неправильное решение.
ОтветитьУдалитьПомнится, в школе такие хитрые стереометрические задачи? которые еще хрен представишь, решали через векторы
Введем базис X — линия касания первого конуса с плоскостью, Y — линия каcания второго конуса, Z — перпендикулярно плоскости. Центр координат — в вершине конусов.
Вектор из вершины в центр основания первого конуса O1 длиной sqr(3)/2 как высота конуса.
выразим через базис. O1 лежит в плоскости XZ, и является катетом прямоугльного треугольника вершина-центр основания-точка касания конуса и плоскости. Его высота sqr(3)/4, высота делит гипотенузу на отрезки 3/4 и 1/4. O1 = 3/4*X + sqr(3)/4 * Z
Вектор, по которому касаются конусы — L. вектор из центра первого конуса в точку касания оснований R1. L = O1 + R1. z-коэффициент в разложении L по базису — L_z и будет искомой величиной.
вектор R1 из соображений симметрии перпендикулярен плоскости XZ, поэтому его z-коэффициент R1_z = 0.
получаем, что L_z = O1_z = sqr(3)/4.
Где ошибка?
Ничего не понимаю. У меня получилось 0,25. И я вижу только еще один такой ответ. Не знаю что более невероятно - то, что ошибся или то, что большинство людей не смогли решить эту задачку. Отправляю рисунок с тремя проекциями на мыло :) может добавите его в разбор полетов в качестве верного, или же укажете где ошибка.
ОтветитьУдалитьВот и обещанный разбор некоторых неправильных решений
ОтветитьУдалить8*sqrt(15) ?
ОтветитьУдалитьSergey Bondarenko, это явно слишком много. На два сообщения выше есть ссылка на разбор задачи.
ОтветитьУдалитьне уверен в решении,но после прочтения задачи и рассмотрения рисунка получил ctg(PI/6)
ОтветитьУдалитьнаврал :(
ОтветитьУдалитьcos(PI/6)sin(PI/6)
nt.Xine, Ваш ответ меньше, чем правильный. Предлагаю ещё порешать. Если останутся вопросы, то специально подготовлен разбор неправильных решений, снимающий завесу тайны :)
ОтветитьУдалитьснова наврал, уточню напишу...
ОтветитьУдалитьмысли аж шевелятся, я их чувствую :)
Чугун массой 1 килограмм весит больше чем пух массой 1 килограмм, я прав?
ОтветитьУдалитьА конусы буду сам решать, так оно интереснее. Пока на стадии 0,5 :) , чую что надо рисовать, но лень.
sqrt(2)/2
ОтветитьУдалитьвсетаки решил...
ОтветитьУдалитьsqrt(2)/3
могу решение почтой выслать, если неправильно - мож даж подскажите в чем я ошибся. Но пока вроде мысли не подводят и решение кажется верным (впрочем как оно и должно быть :-) )
nt.Xine, выше я уже давал ссылку на разбор неправильных решений. Если Вы там не найдёте свою ошибку, то можете прислать своё решение почтой - разберёмся. Но я думаю, Вам интереснее будет найти верный ответ самостоятельно :)
ОтветитьУдалитьеще одна попытка. мои надежды на верное решение не пропадают. В предыдущем я нашел ошибку...
ОтветитьУдалитьновый ответ = 2/sqrt(5)
мне только не нравится что он большеват получается... хотя вроде в допустимом диапазоне.
nt.Xine, выше я уже давал ссылку на разбор неправильных решений, повторю её ещё раз - http://my-tribune.blogspot.com/2009/03/blog-post_21.html. Если Вы там не найдёте свою ошибку, то можете прислать своё решение почтой - разберёмся.
ОтветитьУдалить0,3125
ОтветитьУдалитьsqr(0,3125)=0,559017...
ОтветитьУдалитьУважаемый аноним, Ваш ответ чуть-чуть меньше правильного.
ОтветитьУдалить1/sqrt(5) ?
ОтветитьУдалитьDenis, выше уже был приведён верный ответ и ссылка на разбор неправильных решений - http://my-tribune.blogspot.com/2009/03/blog-post_21.html. Если Вы там не найдёте свою ошибку, то можете прислать своё решение почтой - разберёмся.
ОтветитьУдалитьНа самом деле получается, что задача на внимательность, а с точки зрения сложности решения - она очень простая. Когда я ее решал - перебрал кучу неправильных вариантов. В конце концов, действительно, правильное построение дало правильное решение.
ОтветитьУдалитьnt.Xine, да, конечно задачка простая. В этом её прелесть - простая, но "вырывается", не позволяя многим себя решить :)
ОтветитьУдалить(корень из 3)/4
ОтветитьУдалитьpifagor_mc, выше уже разобран Ваш ответ - маловато :)
ОтветитьУдалить1*Cos30 или Sin60
ОтветитьУдалить