И так можно

Совершенно понятная и очень правильная мысль иногда мешает. Например, некоторые ученики часто пытаются одолеть задачу не новым подходом (которому посвящён урок), а своими старыми умениями. При этом каждый из них говорит: «Не хочу вникать в новую тему, потому что я и так эту задачу смогу решить». В самом деле, если ответ правильный, то какая разница, как именно решать?

Но разница есть: ученики, освоившие новый метод, справляются с каждой задачкой за 3-5 минут, постепенно переходя от простых упражнений к тяжёлым. А наш упорный любитель старых методов на каждую из простых задач тратит по 20-30 минут и несколько тетрадных листов. Поэтому до средних и сложных упражнений он вообще не добирается. И из-за этого он даже не понимает, что его желание доказать ненужность нового подхода не позволяет ему увидеть те сложности, которые невозможно одолеть старыми методами.

Кто-то скажет, что надо сразу давать такие задачи, чтобы их невозможно было решить старыми методами. Но проблема в том, что очень часто такие задачи не могут быть наглядным примером. Всё же учиться надо на чём-то простом, чтобы ученик мог увидеть задачу целиком. А сложная проблема не годится для обучения новой теме. Впрочем, иногда удаётся найти простую и оригинальную задачку, что даже ненавистники новых тем смиряются - без нового знания её не решить.

В жизни тоже часто надо рассматривать несколько подходов к задаче, чтобы выбрать самый короткий и простой. Если идти длинным и сложным путём, то можно насобирать высокую вероятность ошибки в каких-то простых рутинных операциях. Если действий много, то ошибиться легко, но трудно найти этап, на котором произошла ошибка, чтобы её исправить.

Приведу классическую задачку, на примере которой данный эффект хорошо виден:

Кубок по футболу разыгрывается по олимпийской системе; ничьих не бывает, к следующему туру допускается только победившая команда, проигравшая же выбывает из розыгрыша. Для завоевания кубка команда должна только побеждать (нельзя проигрывать). На участие в розыгрыше кубка поданы заявки от 16389 команд. Сколько матчей будет сыграно, пока определится обладатель кубка? (Не путать число матчей с числом туров!)

Мы тут часто решаем забавные математические задачки с подвохом, но сегодня не тот случай. Это простая постановка, в которой никто никого не собирается обманывать :)

Я предлагаю сделать сейчас небольшую паузу и найти свой собственный ответ на эту задачу.






Итак, поздравляю с успешным решением задачи. Да, она простая, но всеми силами приглашает решить себя сложным путём.

Сначала расскажу сложный путь:
- в финале играют две команды - это один матч,
- в двух полуфиналах играют две пары команд - это два матча,
- в четырёх четвертьфиналах играет четыре пары команд - это ещё четыре матча,

И так далее. Честно выписываем эти степени двойки, пока не доходим до строчки
- в 8192-ти 8192-финалах играет 16384 команд - это ещё 8192 матча.

Что делать дальше? У нас участвует 16389 команд, а мы придумали как устроить игру для 16384 команд. Куда деть ещё пять? Можно выбрать для них случайно пятерых соперников, чтобы они за дополнительные пять игр установили, кто из них лучше.

Выходит, наш ответ такой: 1+2+4+8+16+32+...+8192+5.

Это Длинно? Да, длинно! Скучно? Конечно, очень скучно!

Тем, кто решил задачку подобным образом, я предлагаю прерваться на несколько минут, потому что есть очень простое и короткое рассуждение. Оно не позволяет наделать ошибок в таком большом суммировании, не требует воображения, чтобы определиться с тем, куда деть «лишние пять команд»... Оно короткое и изящное.






Если вы это читаете, значит уже нашли быстрое решение, а сейчас хотите узнать, бывает ли ещё быстрее. Или пока не нашли, но узнать уже хочется - тоже понятное желание. Итак, в результате каждого матча одна из команд выбывает, а нам надо определить, сколько пройдёт матчей до того, как останется всего одна команда. Раз команд изначально 16389, значит надо, чтобы выбыли 16388 из них, чтобы осталась ровно одна. Это значит, что требуется 16388 матчей. Всё! :)

Данная задачка была опубликована, например, в книге «Смотри в корень!» Петра Маковецкого. Саму книгу я уверенно рекомендую для чтения школьникам и их родителям, так как в ней приводятся интересные постановки проблем, совместное обсуждение которых открывает глаза на интересные моменты в устройстве нашего мира. Увы, её давно не переиздавали, поэтому остаётся только читать в интернете (или на электронной читалке).

Напишите в комментариях, пожалуйста, какие вы знаете задачки с аналогичным свойством: есть очень простое решение, но длинное бросается в глаза раньше.

Хорошей недели!