Расширение

Добрый день.

Вот я и вернулся из небольшого вояжа по деревням и сёлам СССР. Хоть с доступом в интернет особых проблем и не было, но оказалось, что найти на него время практически невозможно. Много поразительного и интересного было замечено в маленьких и очень маленьких школах. Часть из этого будет кратко описана прямо сейчас, а про остальное расскажу позже.

Например, секретные нулевые уроки бывают не только в лучших школах больших городов. Квалифицированные учителя в самых разных местах практикуют эту технику: разрешить самым старательным школьникам приходить за 45-60 минут до начала первого урока, чтобы в небольшой группе единомышленников (человек 8-15) порешать настоящие интересные задачки.

В таких группах занятия идут очень эффективно, так как посещение их не просто является добровольным, но его ещё и заслужить надо. Например, если ученик не успевает по литературе или истории, то учителя физики и математики не допускают его до нулевых уроков (пусть сначала найдёт время на обязательную программу). Соответственно, ради любимого предмета ребёнок старательно осваивает и все остальные.

Обычно словосочетанием «нулевые уроки» называют прямое нарушение санитарных норм (естественно, ни школьники, ни учителя не бывают рады, если их обязывают просыпаться и приходить в школу на целый час раньше). Но если талантливые дети сами готовы ради общения с мастером один-два раза в неделю совершить этот подвиг, а учитель согласен с ними работать ни свет ни заря, то запрещать это странно. Благо, если в школе есть сильный преподаватель, то руководство часто делает вид, что не замечает тут нарушения (естественно, учителя работают не за деньги, а ученики — не за оценки).

Но это верхи. А что же внизу? Увы, проблемы есть даже со сложением дробей (эта беда уже много раз описана). И вот на очередном уроке в школе небольшого городка я слышу до боли знакомое «числитель складывается с числителем, а знаменатель — со знаменателем». На перемене и после уроков я пообщался с этой учительницей, которая, оказывается, давала такое правило сложения дробей, потому что искренне верила в него (т.е. даже не пыталась сказать что-то вроде «детям так проще, а иначе они вообще не усвоят»).

На следующий день у этого же класса был следующий урок математики. Преподаватель нашла в себе силы произнести примерно следующее: «Из Москвы пришли новые правила, теперь надо другим способом складывать дроби. Сейчас я вам расскажу». Школьники были не очень довольны, но куда им деваться?..

Проблем тут масса, но я хочу сегодня сконцентрироваться на расширяемости и осмысленности. Казалось бы, нет ничего особенно плохого в правиле сложения a/b + c/d = (a+c)/(b+d) (умножать же так можно). Просто тут надо понимать, что оно имеет ряд дефектов:
1) Отсутствует связь с реальностью. Например, 1/2 + 1/2 должно быть равно 1, а почему-то опять равно 1/2.
2) Отсутствует связь с ранее изученными целыми числами. Например, 1 + 2 = 3, но 1/1 + 2/1 почему-то оказывается равным 3/2.
3) Слишком много нулей. Это тонкий момент, но тоже достаточно наглядный. Работая с целыми числами, мы привыкли, что существует только одно число, прибавляя которое к остальным мы не меняем результат. Это число равно 0, причём других таких чисел нет. Но тогда из странного равенства 1/2 + 1/2 = 2/4 = 1/2 следует, что 1/2 = 0 (и подобных нулей можно ещё много найти).

Короче, такой способ складывать обыкновенные дроби никак не позволяет аккуратно расширить наши знания о натуральных и целых числах. А это расширение обязательно должно быть. Мы ведь учимся складывать дроби не только для решения задачек на сложение дробей?

Кому-то это всё кажется пустыми и очевидными словами, поэтому давайте рассмотрим более сложный пример — интегралы. Обычно изучение интегрального исчисления начинают с определений Ньютона-Лейбница, потом быстренько переходят к интегралу Римана, затем вырастают до неожиданно устроенного интеграла Лебега, далее осваивают удивительный интеграл Стилтьеса. И если студент желает специализироваться в этой непрерывной части математики, если ему легко думать об обобщениях на пространства больших размерностей, то он изучает ещё много разных интегралов.

Но кто после всего этого будет считать, что в математике есть «много разных интегралов»? Вернее, есть, конечно, разные определения, позволяющие делать всё более сложные вещи. Но сами по себе интегралы вполне одинаковы в том смысле, что для простых функций (изучаемых в школах) они позволяют вычислить одни и те же значения. Просто более сложно устроенные интегралы оказываются применимы для таких функций, на которых их простые собратья не были определены.

Это как расширить операцию сложения натуральных чисел до сложения целых (этот новый «плюс» продолжает давать те же результаты на натуральных числах). А потом расширить эту же операцию до обыкновенных дробей (в целых числах опять ничего не поменялось). А потом расширить до вещественных чисел, затем до комплексных и так далее — определение сложения становится всё сложнее, но ранее полученные результаты сохраняются даже с новым правилом.

Поздравляю всех дочитавших до этого места! Вы только что ознакомились с подготовительными разговорами, которые нужны мне для начала серии совместных заметок, посвящённых возможностям расширения теории вероятностей. Все мы сталкивались с её ограничениями, многие чувствовали, что тут можно что-то сделать. И в марте мы постараемся лучше понять, куда тут можно думать.

Заметьте, никто не будет пытаться перечеркнуть уже полученные результаты теории вероятностей (как их можно перечеркнуть?). Но давайте попробуем обобщить некоторые соображения, расширив область применимости. Например, откройте недавнюю заметку «Невозможное возможно». В первом же диалоге на первый вопрос Якубовича игрок отвечает: «Я не знаю, потому что не имею никакой информации о количестве призов в этих шкатулках». Так велит ему классическая теория вероятностей. В самом деле, она не умеет решать такие задачи, поэтому и игрок отвечает, что не может дать ответ.

Но вдруг мы можем придумать способ (на самом деле, конечно, не придумать, а понять кем-то предложенный), позволяющий оценить эту вероятность осмысленным образом? А что значит осмысленным? Об этом мы тоже поговорим :)

Хорошего начала весны!