Кванторы всеобщности и существования

Данная заметка является в большой степени технической и не будет интересна большинству из-за своей простоты и очевидности. Последнее время мне всё чаще нужна страница в сети, на которую можно отправить человека, не понимающего разницы между утверждениями «для любого представителя такого-то множества данное свойство верно» и «существует представитель такого-то множества, для которого данное свойство верно». Если что-то не удалось найти, а оно нужно, то я предпочитаю это сделать своими руками.

Если вам кто-то порекомендовал эту ссылку для прочтения, то очень прошу не обижаться. Дело в том, что это означает, что в вас верят! Если бы не верили, то не стали бы пытаться объяснить свою позицию. А раз пытаются, значит хотят продолжить беседу на более высоком уровне понимания. И это само по себе уже очень хорошо.

Итак, вернёмся к кванторам всеобщности и существования. Звучит страшно, но устроено очень просто. Есть два похожих, но очень отличающихся смысла: «некоторое утверждение верно всегда» и «бывают ситуации, когда утверждение верно». В различных спорах данные смыслы часто смешивают, подменяя понятия. Это позволяет «выиграть» в споре, создав иллюзию корректности аргументов (фактически, запутав слушателей или самого себя). Следующий текст адресован людям, путающимся в этих двух типах утверждений.

Смысл «все лошади лиловые» можно переформулировать как «для любой лошади X верно "X лиловая"». Математики для краткости это записывают примерно так: «∀лошади X, X имеет лиловый цвет». Как доказать такое утверждение? Есть два способа:
1) Рассмотреть все возможные X, убедившись, что они все удовлетворяют условию «X имеет лиловый цвет».
2) Доказать, что не существует ни одного X, имеющего другое свойство (доказать, что не бывает лошадей другого цвета).
Первый путь может быть очень долгим, если рассматривается большое множество (лошадей на планете очень много), а второй сложен тем, что надо найти какой-то изящный ход, показывающий отсутствие лошадей с заданным свойством, что тоже нелегко.

Трудно доказывать высказывания о том, что что-то всегда верно, но легко их опровергать. Достаточно предъявить хотя бы одного представителя рассматриваемого множества, не удовлетворяющего условию. Если найти хоть одну не лиловую лошадь, то утверждение о том, что все они являются лиловыми, можно будет смело считать ложным.

А смысл «существуют порядочные журналисты» можно переформулировать как «существует журналист X такой, что "X честен"». Это для краткости оформляют примерно так: «∃ журналист X, X порядочен». Как это можно доказать? Есть очень простой способ: предъявить хотя бы одного честного журналиста. Достаточно одного примера, чтобы доказать утверждение!

Высказывания о существовании чего-то легко доказывать, потому что надо найти всего одну сущность. Но как же тяжело их опровергать! Есть два способа:
1) Проверить всех журналистов (а их очень много): установить для каждого, является ли он честным. И если в результате этой длительной работы выяснится, что каждый журналист не является порядочным, то утверждение о существовании честных журналистов будет опровергнуто.
2) Доказать, что из самой принадлежности X к множеству журналистов заведомо следует, что X не может быть порядочным. Дело это сложное, потому что требуется найти корректный ход, доказывающий данное утверждение.

Полагаю, двойственность этих обоих типов высказываний и способов их доказательства очень заметна:
1) существование легко доказать, но сложно опровергнуть,
2) всеобщность (верность для всех) легко опровергнуть, но трудно доказать.

Именно по этой причине спорщики часто стараются проигнорировать корректные доказательства существования, указав на то, что бывают элементы, не имеющие обсуждаемого свойства.

Пример:
- Иногда водитель, почему-то не пристегнувшийся ремнём безопасности, выживает в ДТП, а его пристёгнутые пассажиры погибают. Например, если в момент аварии водитель улетел через лобовое стекло, а в следующие секунды автомобиль взорвался, то у водителя могут быть серьёзные переломы и глубокие порезы, а у пассажиров - смертельные ожоги.
- Ерунда! У меня дядя тоже ездил, не пристёгиваясь, пока в его машину не влетел какой-то алкаш, вылетевший на встречку лоб в лоб.
- Да, конечно, согласно статистике, выживаемость в ДТП у пристёгнутых выше, чем у не пристёгнутых. Но бывают случаи, когда именно отсутствие ремня спасает жизнь.
- Чушь! У меня один знакомый тоже так говорил, пока ночью на скорости 100 км/ч не врезался в фуру, стоящую без габаритных огней на полосе. Теперь он так говорить не может, потому что лежит в земле.

Этот диалог может продолжаться, пока автору высказывания о существовании не надоест тратить своё время на беседу с человеком, считающим, что опровергнуть возможность чего-то можно примерами других возможностей.

Обратное движение тоже очень распространено - для доказательства всеобщности часто пытаются просто предъявить пример (что само по себе не может сработать). Но ещё и игнорируют примеры, опровергающие исходное утверждение.

Типичный диалог:

- Все американцы толстые! Я видел многих туристов из США - они все похожи на шарики!
- Почему же? Бывают вполне стройные американцы. Я лично таких видел.
- Ерунда! Посмотрите их фильмы - там масса толстяков, которые еле проходят в двери.
- Взгляните на конкурсы красоты - американские модели никак не толще европеек или азиаток. Поэтому вполне бывают стройные американцы.
- Чушь! Американцы едят что попало, поэтому набирают огромный вес. Неужели вы и с этим будете спорить?!

Конечно, такие дурные диалоги возникают не из-за того, что их участники не знают квантора всеобщности ∀ и квантора существования ∃. Дело в отсутствии понимания логики или желании «быть правым любой ценой». Со вторым случаем ничего не поделать - остаётся только их игнорировать. Но если человек искренне хочет разобраться, то, возможно, этот короткий обзор и примеры помогут ему понять некоторые тонкости.

Вернёмся к вчерашнему примеру с треугольником. Если в нём всё хорошо и корректно, то он доказывает утверждение «существуют треугольники, площадь которых не обладает аддитивностью» и опровергает утверждение «площадь всех треугольников аддитивна».

Но важно понимать: если мой пример с треугольником некорректен (что правда), то это не доказывает аддитивность площади для всех треугольников, а всего лишь опровергает конкретное утверждение о существовании такого треугольника без аддитивности :)

Напишите, пожалуйста, если знаете место в сети, где эта же идея изложена яснее и короче.