Для хранения часто используют контейнеры в виде параллелепипедов, потому что коробки с прямыми углами проще плотно расставить на складе. Но поскольку мы продолжаем нашу серию задач о кубах, то давайте лучше будем использовать единичный куб.
Возникают вполне естественные вопросы:
1) Можно ли поместить один тетраэдр в куб?
2) Можно ли поместить два тетраэдра в куб?
3) Можно ли поместить три тетраэдра в куб?
4) Можно ли поместить четыре тетраэдра в куб?
5) Можно ли поместить пять тетраэдров в куб?
и так далее.
С первым вопросом всё просто - на рисунке справа показано, как можно впихнуть в единичный куб тетраэдр с гораздо большим ребром. С последним вопросом тоже просто: объём тетраэдра примерно в 8.5 раз меньше объёма куба, поэтому больше восьми их точно не влезет. А вот с остальными уже придётся порисовать... Успехов!
Хорошего вам завершения недели и удачных выходных!
Понравилась заметка? Подпишитесь на
RSS-feed или email-рассылку.
Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
RSS-feed или email-рассылку.Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
Два у меня вроде впихнулись (основание к основанию, вершины - к противоположным вершинам куба и покрутить).
ОтветитьУдалитьИ сумма высот меньше диагонали куба, и ребро тетраэдра короче, чем отрезок от середины верхней стороны передней левой грани до середины нижней стороны передней правой грани на рисунке.
Не рисовал.
Насчёт трёх - мне уже сложно, но нутром чую, что не влезет (заодно проверим мой здравый смысл =))
Черт, а ведь поначалу для меня задача показалась простой, с очевидным ответом 4. И ведь даже не обратил внимание на подсказку с объемом ;)
ОтветитьУдалитьДумаю должно влезть 5 тетраэдров, на большее не хватает фантазии
ОтветитьУдалитьбольше двух поместить не удается. 1 вершиной вниз, второй - вершиной вверх. к сожалению, без рисунка. все упирается в то, что длины грани одинаковые, а угол 60 градусов.
ОтветитьУдалитьвидимо был невнимателен, сбила картинка. если поместить фигуры надо именно в куб (вместе с верхней граню-крышкой), то два тоже влезть должны. длина диагонали, соединяющей вершины оснований корень из 12/3, сумма высот тетрэдров - корень и 8/3. в общем, только 2 - мой ответ.
ОтветитьУдалитьSergey, да, фигуры надо поместить именно в куб.
ОтветитьУдалитьС размещением двух тетраэдров Вы, похоже, разобрались. А как же третий? ;)
Извините а не нашел ответа про этот билет
ОтветитьУдалитьВстречная загадка.
Решить тот же 123456, но что б каждый из знаков был задействован хотя бы один раз.
а почему именно тетрадке ?
ОтветитьУдалитьТут намного проще получается http://ideluxe.net/
Игорь Иванов у себя в блоге написал очень интересный пост, рекомендую, основанный на подборке обзорных статей про биофизику клетки в последнем выпуске журнала «Nature Physics».
ОтветитьУдалитьПо-мимо этого есть ссылки и на несколько других связанных новостей, краткий список я выложил у себя.
Провёл эксперимент с бумажными моделями
ОтветитьУдалить2 влазит 100% - если склеить сторонами, сумма высот будет меньше чем диагональ куба (корень из 8/3 против корня 3).
4 - не влазит 100% - некуда дальше
с тремя нужно сичтать потому что выходит впритык, а там уже бумага вносит погрешности.
BuHTuK, отлично!
ОтветитьУдалитьС парой тетраэдров разобрались. Давайте теперь разместим сразу три :)
В общем получается, что если 2 тетраедра, лежат на соседних гранях куба, но на непараллельных и не смежных рёбрах (не помню как такие прямые называются), то они не пересекаются.
ОтветитьУдалитьОдновременно таких пар может быть не больше 3-х.
Соответственно, если они попарно не пересекаются, то и 3 штуки влазит.
При детально пересчёте оказалось что в такой конфигурации они таки пересекаются :(
ОтветитьУдалитьразве что их как-то по-хитрому повернуть...
но пока моя версия - 2
Решению в студию?)
ОтветитьУдалитьсклеил куб и тетраэдры. ТРИ помещаются!
ОтветитьУдалитьМаксимум 6, мне кажется больше не как...
ОтветитьУдалить3 можно.
ОтветитьУдалитьвыбрать у куба три ребра перпендикулярных друг другу и в разных плоскостях
(например, если смотреть на одну грань лицом, ближнее нижнее, дальнее правое, и верхнее левое.)
поставить на каждое ребро одно ребро тетраэдра, тогда противоположные ребра сойдутся в центре куба.
больше нельзя
Отлично, три разместили!
ОтветитьУдалитьКто больше?
Если тетраэдр одним ребром и одной гранью лежит на ребре и грани куба, то центр куба лежит внутри этого тетраэдра.
ОтветитьУдалитьЭто можно увидеть если провести плоскость через середину тетраэдра и куба.
На плоскости будет треугольник с основанием sqrt(3)/2 и одной из сторон 1, вписанный в квадрат.
Если провести перпендикуляр из середины стороны квадрата (там где основание треугольника), то она будет равна (sqrt(3)-1)/sqrt(2) что немного больше 1/2.
Так что поместить таким образом даже 2 тетраэдра не получится.
BuHTuK, хорошо, так мы убедились, что не надо совмещать грани тетраэдра и куба.
ОтветитьУдалитьо! а если совместить только ребро, и направить "диагональ" тэтраэдра (отрезок соединяющий середины несмежных рёбер) в центр куба, то он как раз упрётся в центр.
ОтветитьУдалитьЭто значит что 3 штуки таким образом влезут и сойдутся в центре, что уже предлагал Анонимный.
Илья, ну вы даёте!
ОтветитьУдалить1. "... на рисунке справа показано, как можно впихнуть в единичный куб тетраэдр с гораздо большим ребром"
На фотографии (а не рисунке) справа отчётливо видно что тетраэдр "не впихнут", потому что выступает. Если же вы имели ввиду частично -- то тогда не очевидно, что 8 тетраэдров не могут частично влезть в куб.
После всяких школьных олимпиад, где условия вылизаны настолько, что не придерётся даже юрист, ваши задания как-то разочаровывают (это уже не в первый раз, да).
dlazerka, спасибо за интересные замечания. Я стараюсь делать тексты предельно ясными, но до идеала, конечно, ещё далеко. Буду благодарен, если Вы найдёте возможность оперативно сообщать о неточностях.
ОтветитьУдалитьЧто касается тетраэдра, который "не впихнут", то это не совсем так. Можно догадаться, что у этого тетраэдра сторона в sqrt(2) раз больше, чем у куба, поэтому он прекрасно влазит. А на фотографии фигуры стоят именно так, чтобы было понятнее, как они расположены. Это иллюстрация к первой простейшей задачке ("доказать, что один тетраэдр влезет") добавлена в текст заметки, чтобы появились нужные ассоциации.
Ещё раз благодарю за критику.
6
ОтветитьУдалитьУважаемый аноним, поясните, пожалуйста, как Вам удалось разместить 6 тетраэдров.
ОтветитьУдалитьМой ответ 5. Очевидно даже из рисунка! Провел эксперимент на яблоке! Получилось только 5! Отсекаем тетраэдеры от одной вершины к противоположным угловым точкам! Получается 4 и один как показано на рисунке. Короче каждая грань тетраэдера с рисунка является гранью другого тетраэдера, а у первого их всего 4 и он сам пятый! Вот и все
ОтветитьУдалитьУважаемый аноним,
ОтветитьУдалитьВы используете общеизвестное определение правильного тетраэдра? Из Ваших объяснений это не вполне очевидно. Если не трудно, пришлите, пожалуйста, ссылку на поясняющую картинку.
3 - максимум, господа!
ОтветитьУдалитьА как насчёт размещения двух тетраэдров при условии отсутствия точек касания как между ними. так и с кубом?
ОтветитьУдалитьМожете развить мысль? Я пока не совсем понимаю, в чём идея.
УдалитьВполне доказуемо!Сечём куб плоскостью,перпендикулярной диагонали куба и проходящей через его центр.В сечении-правильный шестиугольник.В каждой из полученных половин размещаем по тетраэдру,совместив плоскость грани тетраэдра с плоскостью сечения куба,а центр грани- с центром сечения.
УдалитьОстаётся доказать:
а)треугольник грани тетраэдра вписан в шестиугольник сечения без точек касания,
б)высота тетраэдра меньше половины диагонали куба.
Вы стараетесь доказать возможность размещения двух тетраэдров без касания куба и друг друга?
УдалитьИменно это я и сделал.
УдалитьВ этом деле важно ясно показать, где доказываемое утверждение, а где само доказательство. Спасибо за идею с шестиугольником!
Удалить