Хитрые конверты

Полгода назад мы разбирались с парадоксом двух конвертов. Задачка эта хоть и является достаточно простой, но важность её очень высока. Дело в том, что интуитивные представления уж очень сильно сопротивляются верным рассуждениям. По комментариям к разбору было хорошо видно, как мозг желающих разобраться в парадоксе из последних сил цеплялся за ложные представления.

Коротко напомню суть, чтобы перейти к интересной модификации этой игры:

Ведущий предлагает игроку два конверта, в одном из которых находится вдвое большая сумма, чем в другом. Допустим, игрок выбрал конверт, в котором ровно 10 денег. Пересчитав их, он понимает, что во втором конверте с равными вероятностями может быть как 5, так и 20. А раз так, то замена конверта даст ему средний выигрыш (5+20)/2 = 12.5, что больше 10. Другими словами, поменять случайный конверт на другой должно быть выгодно. Но разве тактика «выбери любой конверт, а потом поменяй его на второй» может быть выгоднее тактики «выбери любой конверт»? (это уже вопрошает здравый смысл)

В прошлый раз мы убедились, что проблема в этой постановке задачи заключена в следующей фразе: «во втором конверте с равными вероятностями может быть как 5, так и 20». Всё дело было в том, что в условии задачи ничего не сказано о принципе формирования конвертов, поэтому мы не можем рассчитывать на равновероятность обоих исходов (мы привели примеры разных распределений, в которых данные вероятность существенно отличаются от 50%). В комментариях к заметке с разбором мы этот вопрос со всех сторон рассмотрели.

Теперь же я предлагаю новую игру, в которой все распределения хорошо известны, а суммы в конвертах будут отличаться не в 2 раза, а в 10.

Итак, у казино есть случайная величина x на отрезке от 0 до 1 (распределение равномерное). И именно по этой величине компьютер формирует конверты:
- если 1/2 <= x, то в конверты помещают суммы 1 и 10,
- если 1/4 <= x < 1/2, то в конверты помещают суммы 10 и 100,
- если 1/8 <= x < 1/4, то в конверты помещают суммы 100 и 1000,
...
- если 2^(-n-1) <= x < 2^(-n), то в конверты помещают суммы 10^(n-1) и 10^n,
...

Как видите, вероятность события, описанного в каждой строке, в два раза выше, чем вероятность события, описанного в следующей строке. И сумма всех этих вероятностей как раз равна единице, поэтому всё хорошо - мы работаем с вполне корректным распределением сумм по конвертам. Теперь представим себе игрока, который знает это правило формирования конвертов.

Пусть игрок вытянул случайный конверт из предложенных двух, а в нём ровно 1. Что это означает? У нас есть всего один тип конвертов, в одном из которых лежит единица - это (1, 10). Так игрок понимает, что во втором конверте заведомо 10, верно?

Теперь пусть игрок вытянул случайный конверт, а в нём ровно 10. Тут есть два варианта: во втором конверте может быть 1 или 100. Важно, что пара (1, 10) в два раза более вероятна, чем пара (10, 100). Другими словами, во втором конверте с вероятностью 2/3 находится 1, а с вероятностью 1/3 - 100 денег. Давайте посчитаем математическое ожидание выигрыша от смены конверта: 1/3 * 100 + 2/3 * 1 = 34. Другими словами, если игрок вытянул 10 денег, то замена конверта принесёт ему средний выигрыш 34, что является очень выгодной сделкой, так?

Аналогичное рассуждение легко провести для всех остальных чисел. Пусть игрок вытянул 10^n. Тогда во втором конверте может быть 10^(n-1) или 10^(n+1). Первое число меньше и в два раза вероятнее. Но второе гораздо больше. Считаем математическое ожидание выигрыша от смены конверта: 1/3 * 10^(n+1) + 2/3 * 10^(n-1) = 34 * 10^(n-1). А это опять в 3.4 раза больше, чем сумма в только что открытом конверте!

Выходит, что выигрышная тактика формулируется очень просто: «выбери любой конверт, а потом поменяй его на второй». Но где-то мы это уже слышали :)

Как же так? Где нас подводит здравый смысл, а где неправильное использование математических инструментов? :)

Хорошего дня!