29 сент. 2010 г.

Куб покрыт квадратами

Добрый день!

Три кубаС разностью кубов простых чисел вам не потребовалось пространственное воображение. Холодная голова, формулы сокращённого умножения и логика позволили почти мгновенно одолеть эту задачку (решение в комментариях). Фактически, это получилось ещё проще, чем в задачке на хоть какое-то представление трёхмерного объекта (про мышонка, поедающего сыр ради науки). Но сегодня всё изменится. Нынешняя задачка будет чуть сложнее и вынудит многих не просто напрягать своё воображение, но даже взять в руки карандаш и бумагу :)

Итак, наша сегодняшняя цель - покрытие поверхности куба шестью квадратами. Легко представить тривиальный вариант такого покрытия - шесть одинаковых квадратов ложатся на шесть граней куба, полностью закрывая его поверхность (без перекрытий, конечно). И это вполне нормальное покрытие. Но есть ли другие?

Вопрос в следующем: можно ли полностью покрыть поверхность единичного куба шестью квадратами с суммарной площадью равной шести так, чтобы не все эти квадраты имели одинаковый размер? Если да, то как? Если нет, то почему?

Хорошего дня и интересных решений!

12 комментариев:

  1. Можно, сейчас нарисую ответ.

    ОтветитьУдалить
  2. Анонимный29.09.2010, 09:20

    Как это можно?!
    Я уже почти доказывал, что это нельзя сделать из-за точек перегиба на ребрах :-)

    ОтветитьУдалить
  3. Вот.
    2 квадрата с площадью 2 и 4 с площадью 1/2.

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный29.09.2010, 09:54

    2 квадрата с площадью 1+2s и 4 с площадью 1-s.
    1/2 >= s >= 0

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный29.09.2010, 10:38

    Можно ли положить на единичный куб квадрат со стороной больше 1? То есть квадрат, больший грани куба? По-моему -- нельзя.
    Если я прав, то решение очевидно: если все 6 квадратов меньше или равны 1, то в сумме они равны 6 только когда все по 1, то есть тривиальное покрытие единственно.

    ОтветитьУдалить
  6. Анонимный29.09.2010, 10:41

    Посмотрел решение. Надо было подумать подольше.

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный29.09.2010, 14:43

    Надо уточнить в условии что квадраты допускается сгибать. Тогда можно: 2 квадрата площадью 2 и 4 квадрата площадью 1/2.

    ОтветитьУдалить
  8. LisandreL, спасибо за публикацию изображения с решением!

    eyeless-watcher, было бы интересно узнать Ваше решение.

    vzay, спасибо за Ваш комментарий. Надеюсь, он многих удержит от преждевременного изучения картинки с решением.

    Уважаемый аноним, из того факта, что количество граней куба равно количеству квадратов, которыми осуществляется покрытие, это следует. Разве не так?

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный30.09.2010, 15:03

    Да тоже самое, только внутренние маленькие квадратики можно же вертеть вокруг центра :)

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный30.09.2010, 15:07

    Хотя нет, нельзя. Да, только первое и остается.

    ОтветитьУдалить
  11. Ну вот. Только решил, как оказалось, что и рассказывать никому ничего не надо, все всё уже знают. :)

    ОтветитьУдалить
  12. Антон, подозреваю, что Вы тоже понимаете, что главная ценность именно в процессе решения, а не в демонстрации факта решения :)

    eyeless-watcher, теперь понимаю, что подразумевалось.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний