Ещё раз о вероятностях

Любопытный отыскивает редкости
только затем, чтобы им удивляться;
Любознательный же - затем, чтобы
узнать их и перестать удивляться.
Рене Декарт

Две недели назад мы разбирали парадокс двух конвертов (более 100 комментариев - я надеюсь, все желающие всё поняли). А сегодня я предлагаю короткий разговор о понимании теории вероятностей (с ясным примером). И в последнем абзаце будет забавная задачка.

Итак, сначала о теории. Отличие теории вероятностей от большинства других наук состоит в том, что она реально кажется понятной (поэтому, вроде как, её и не надо сильно изучать - разумному человеку всё и так будет ясно, а учёные навыдумывали себе сложных теорем, которые никому не нужны). Поэтому многие люди, которые математическую задачу последний раз пытались решать очень давно, не просто имеют мнение о конкретной задачке из теории вероятностей, а убеждены в своей правоте (ещё бы, они же имеют здравый ум и рационально мыслят!)

Представьте, что кто-то принесёт аналогичный парадокс про решение дифференциального уравнения или о задачке из ТФКП. Да это никто не станет публиковать и обсуждать! Потому что данные научные дисциплины большинству совсем неизвестны. А про теорию вероятностей многие готовы высказаться.

Пример - на Хабре опубликовалась статья Гослото — государственная лотерея по-русски!. Идея очень простая - автор проанализировал выигрышные комбинации с начала года, обвёл красным числа, идущие подряд в натуральном ряду (например, 34 и 35), обвёл синим числа, идущие через одно (например, 11 и 13), после чего заявил: «Теория вероятности отказала и больше не работает. Вероятность выпадения тиража с соседними числами стремиться к 1. Ваши выводы, Россияне?» (на картинке справа видно, что в очень многих строчках есть числа, обведённые цветными кружками).

И знаете, если люди хотят видеть плохое, а здесь «всё так очевидно», то они начинают поддерживать автора, не разобравшись. Следом идут такие комментарии: «даже эти палятся», «рандомайзер хреновенький выбрали по ходу», «может шары прилипли?», «забыли RANDOMIZE TIMER» (приношу извинения, если кого-то обидел, цитируя комментарии в таком тоне).

Конечно, хабровчане быстро во всём разобрались - нашлись люди, дружащие с теорией вероятностей, которые тут же прикинули, что соседние числа в тиражах как раз должны быть очень часто (а если бы они наоборот были редко, то это наводило бы на мысли о какой-то хитрости). На эту тему есть очень наглядный Парадокс дней рождения, обычно формулируемый так: «вероятность того, что в случайной группе из 23 человек хотя бы у двоих дни рождения (число и месяц) совпадут, больше 50%». Интуиция подсказывает, что это событие очень маловероятно, но честные вычисления дают ещё более удивительные факты: в группе из 30 человек найдётся двое с одной датой рождения с вероятностью 70%, а в группе из 55 человек - с вероятностью 99%! Заметьте, что 99% отличается от 100% совсем чуть-чуть, а количество людей - 55 от 366 - отличается в 7 раз. Поэтому сразу удивляться от высокой частоты соседних чисел в лото очень наивно. Достаточно посмотреть, как близко расположены дни рождения у коллег или одноклассников, чтобы заподозрить свою интуицию в недобром :)

Я опасаюсь школьного курса теории вероятностей до специального курса для учителей из-за широкой распространённости применения «здравого смысла» без знания. Если преподаватели будут понимать науку на бытовом уровне, но станут учить ей, то через поколение у нас будет много людей, которых «в школе научили, поэтому они сейчас точно знают» (не имеют фактического знания, но уверены в себе ещё больше, потому что имеют пятёрку в аттестате по этому предмету, грубо говоря). На этом торжественно обещаю прекратить на некоторое время обсуждения проблем с вероятностями :)

Теперь обещанная школьная задачка: сколько существует квадратов с вершиной A(-1; 1), для которых хотя бы одна из координатных осей является осью симметрии? Пожалуйста, через 1-2 минуты напишите в комментариях свой ответ - одну цифру от 1 до 9, не читая чужих версий (конечно, не пишите решение, оставьте только ответ). А в следующей заметке я объясню, зачем всё это ;)