Бесконечность - не число!

Две вещи действительно бесконечны:
Вселенная и человеческая глупость.
Впрочем, насчет Вселенной у меня
есть некоторые сомнения.
Альберт Эйнштейн

Недавно мы уже поднимали этот вопрос, но он так важен, что стоит остановиться на нём подробнее.

Если про один объект иногда говорят такие же слова, как про другой, то это не значит, что эти объекты имеют одинаковые свойства.

Вышло длинное и непонятное предложение, поэтому поясню примером:
Можно сказать «позвони по телефону», а можно сказать «позвони в колокол» - очень разные действия, но один глагол. Из этого нельзя делать вывод, что все остальные действия с телефоном (приём SMS, память на 200 номеров и так далее) свойственны колоколу. Это настолько очевидно, что данный абзац выглядит абсурдным.

Но почему тогда многие так легко оперируют со словом бесконечность, как будто это число? Да, к бесконечности можно применять некоторые действия, которые успешно проходят с числами (сделав необходимые оговорки):
   2 + ∞ = ∞,
   ∞ - 5 = ∞,
   2 * ∞ = ∞,
   ∞ / 5 = ∞,
   ∞ + ∞ = ∞ (более того, ряд вещественных чисел часто расширяют ещё парой элементов +∞ и -∞, но строго оговаривают, как с ними можно обращаться).

Это значит, что далеко не всё с такими «бесконечностями» можно делать. Например, ∞ - ∞ = ? (здесь мы имеем неопределённость, так как не можем дать ответ, не зная природы этих двух «бесконечностей»). Во всяком случае, наивно сразу говорить, что разница будет нулевой.

А уж если начинаются разговоры про то, что какая-то величина стремится к нулю или бесконечности, то очень часто до корректных рассуждений дело так и не доходит. Кстати, полгода назад мы разбирались с бытовым применением понятия бесконечности. Нам тогда удалось «доказать», что сумма катетов треугольника всегда равна гипотенузе. Это был не очень простой, но полезный пример. Есть куда более древние и знаменитые построения, которые выглядят столь просто, что совершенно не ясно, как с ними возможны какие-то проблемы.

Давайте вспомним классическую апорию Зенона:
Если известно, что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи, а находится от неё на расстоянии в 1 километр, то за время, которое Ахиллес потратит на этот километр, черепаха проползёт 100 метров. Соответственно, когда Ахиллес пробежит ещё 100 метров, черепаха проползёт 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, а Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, хотя перемещается быстрее.

Способность говорить внятные вещи по поводу таких задач необходима, чтобы хоть как-то понимать рассуждения о стремлении, пределе, бесконечности и прочих интуитивно ясных, но достаточно сложных понятиях. Без этого разговор обычно скатывается в «у кого голос громче», хотя смысл математической науки вовсе не в том, чтобы любой ценой не дать себя переубедить. Увы, последние десятилетия всё меньше людей отличают корректное от наукоподобного, поэтому часто более важным считается перекричатьубедить, чем приблизиться к истине.

Итак, каким образом можно разрешить проблему с Ахиллесом и черепахой? Пожалуйста, не пишите, что как только Ахиллес пробежит второй километр, черепаха останется далеко позади. Это очевидно каждому, но совершенно не помогает. Тут нужно почувствовать проблему в исходном решении, а не придумать свой взгляд на то же условие.

Хорошего вам дня!