Три весёлые задачки

Добрый день!

Сегодня в нашей традиционной рубрике «Три чего-нибудь» будет три задачки из очень разных областей знаний:

1) Начнём с задачи, которая кажется совсем первоапрельской — «поставить мат в 549 ходов». Но в блоге «Десять букв» утверждается, что опубликована она была 28 марта. Мол, это не шутка, а просто неожиданная постановка вопроса:

В МГУ составляется полный каталог всех семифигурных окончаний шахматной партии. В ходе перебора наткнулись вот на такую позицию:



Белые в ней могут привести партию к победе, но чёрные способны оттягивать своё поражение в течение 549 ходов! Интересно, что выигрышная стратегия белых включает превращение пешки в коня, а не в ферзя.

Дополнение: в условии задачи опечатка (ферзь должен быть на g7, см. подробнее)

2) Если вы не любите дискретные переборные задачки, то есть непрерываня формулировка: сколько можно разместить бесконечных одинаковых цилиндров в трёхмерном пространстве, чтобы каждый касался каждого? Эта задачка мне чем-то нравится даже больше, чем вопрос о тетраэдрах в кубе.

Давайте обдумаем этот вопрос! По ссылке можно найти соображения об оценке сверху (в 24), можно найти неплохой пример (не пишу предложенную нижнюю оценку, чтобы не мешать думать).

3) Ну а для тех, кто хочет от «синтетической зауми» перейти к бытовым вопросам, тот же автор предложил интересный набор для обсуждения с ребёнком часовых поясов (осторожнее, по ссылке в комментариях есть правильные ответы). Привожу список вопросов и одну подсказку:

1. Когда в Москве 8 вечера, где на Земле места (и есть ли они), в которых 4 утра того же дня? Предыдущего дня? Следующего дня? А 5 утра следующего дня?

2. Сколько времени длятся конкретные сутки? (от первой секунды, когда хоть в каком-то первом месте на Земле появилось 1 января, до первой секунды, когда уже ни в каком месте на Земле нет 1 января).

3. Может ли в каком-то месте на Земле быть два захода Солнца хоть в какие-то конкретные сутки (отмеряемые с 00:00 до 23:59 по официальному местному времени) ?

4. (не задача, но интересный факт, предположительно верный) При проезде какой границы на автомобиле нужно переводить стрелки сильнее всего? На пункте пропуска Кулма при въезде из Китая в Таджикистан нужно вычитать целых 3 часа. Бывает ли больше? (предположительно нет, но точно я не знаю; теоретически если какие-то альпинисты перелезали через китайско-афганскую границу (там нет дороги и официальных пунктов пропуска), то должны вычитать 3 с половиной часа)

В связи с появлением неверных ответов даю подсказку к задаче 2. Напишите конкретно: какая дата и время были в Москве в первую секунду, когда хоть где-то на Земле появилось 1 января, и какие дата и время были в первую секунду, когда уже нигде 1 января не было?

А какие задачки вам понравились за последние недели?

Хорошей недели!

P.S.
Сколько очков набрали в 2048?
И не жалко вам на это было время тратить? :)