Средний выигрыш

Добрый день.

Уже три недели прошло с выхода заметки «От Колмогорова к Максвеллу, Лапласу, Байесу», уже более сотни интереснейших комментариев написано, множество копий сломано, несколько заблуждений сформулировано и разобрано. Иногда, к сожалению, собеседники переходили на личности, называли высказывания друг друга чушью, не убедившись, что правильно поняли друг друга. Но не зря борьбу за правду называют борьбой.

Комментарии к той записи сами по себе очень интересны (и продолжение темы, начатой в заметке, конечно, скоро будет опубликовано), но сегодня я предлагаю начать обсуждать интересную задачу из тех комментариев, в которой неожиданным образом показывает себя понятие «средний выигрыш». Ну а для тех, кто не очень любит теорию вероятностей, есть специально заготовленная коллекция «пирожков» (спасибо всем, кто вспомнил свои любимые «пирожки» в комментариях!).

Итак, задача:
Представьте, что вы изобрели такую стратегию игры на фондовой бирже, что она позволяет с вероятностью 90% удваивать торговый капитал, а с вероятностью 10% полностью его терять. Ясно, что с такой стратегией нельзя подставлять под риск весь свой капитал — какой-то процент надо держать в запасе, чтобы всегда можно было возобновить игру, когда «черный лебедь» слизнет весь торговый капитал. Вопрос: какую долю капитала было бы оптимально использовать для игры, а какую всегда сохранять?

Тонкость этой задачи в том, что надо сначала определить, что такое «оптимально» (вспомните задачу Бертрана, в которой понятное и простое условие можно было понимать самыми разными способами). Многие считают, что в этой задаче достаточно посчитать математическое ожидание выигрыша, чтобы определить, на какую сумму играть.

Давайте проделаем это. Пусть x (число от 0 до 1) — доля капитала, которую мы всегда сохраняем. Каким будет средний выигрыш M1(x) за одну игру?

M1(x) = 0.9 * (x + 2 * (1 - x)) + 0.1 * x
(т.е. с вероятностью 90% мы удвоим капитал (1-x), сохранив сумму x, а с вероятностью 10% у нас останется только x).

Давайте найдём x, чтобы функция M1(x) приняла максимальное значение. M1(x) = 1.8 - 0.8 * x. Получается, что чем меньше x, тем выше средний выигрыш. Пожалуй, тут не поспоришь, при одной игре с такими выгодными условиями неразумно оставлять себе хоть что-то, а стоит играть на все.

А что будет при серии из двух игр? Давайте вычислим M2(x).

M2(x) = 0.9^2 * (x + 2 * (1 - x))^2 + 0.1^2 * x^2 + (1 - 0.9^2 - 0.1^2) * (x + 2 * (1-x)) * x
(т.е. с вероятностью 81% [0.9 в квадрате] нам повезёт удвоить капитал дважды, сохраняя на каждом этапе долю x от него, с вероятностью 1% мы дважды проиграем [и сохраним тогда всего x^2 денег], а в остальных случаях мы один раз удвоим капитал (1-x), сохранив x, а один раз «умножим его на x», причём, неважно, в каком порядке).

Найдём x, при котором M2(x) имеет максимальное значение:
M2(x) = 0.64 * x^2 - 2.88 * x + 3.24.
Легко видеть, что эта функция задаёт параболу, ветви которой идут вверх, а наименьшее значение принимается при x > 1. Другими словами, максимальное значение на интервале [0, 1] функция M2(x) принимает в при x=0. Получается, и в серии из двух игр выгоднее не оставлять часть капитала, а «играть на все».

И так далее.

Теперь возникает вопрос: если бытовая интуиция говорит нам «сохрани хоть сколько-то, чтобы иметь возможность возобновить выгодную игру, если вдруг не повезёт», а сухая математическая наука говорит «выгоднее всего играть на всю сумму», то кому верить?

Ну и попутно ещё масса вопросов:
- Верно ли, что математическое ожидание выигрыша будет максимальным при нулевом x для любого количества игр?
- Что такое «оптимальная стратегия» при такой игре? (не «какой она является», а «как понять, что найденная стратегия является оптимальной»)
- Какую сумму x вы бы откладывали от имеющихся денег, если бы планировали сыграть большое количество игр (например, миллион игр)? А если бы всего 3 игры? А если 10 игр?

Хорошей недели!