Неправильный ответ

Добрый день.

Многие родители старательно проверяют совпадение ответов, полученных их детьми при выполнении домашних заданий, с ответами, опубликованными на последних страницах учебников. Это одна из причин того, что детям иногда важнее получить правильный ответ, чем разобраться в методах решения. Бывает даже, что для получения этого самого ответа ребята делают какие-то нелепые вычисления, которые не могут никак объяснить («подгоняют под ответ»).

Если бы получение правильных ответов было очень важным, то учителя давали бы только самые простые задачки. Но мы же понимаем, что на элементарных однотипных вопросах можно натренировать лишь аккуратность и внимательность, но никак не получить глубокого понимания. Эффективное обучение идёт на грани знаний ученика (слишком сложные задачи убивают мотивацию, а от слишком простых ученики начинают скучать). Должно быть одновременно и сложно, и интересно. А в таких условиях получать только правильные ответы почти невозможно. Да и не очень нужно, так как часто бывает полезнее сделать ошибку, а потом её хорошо понять, чем сразу «случайно» решить без ошибок.

Полторы недели назад мы решали полезную задачку о нескольких шкатулках. В ней заготовлен ряд «граблей», которые способны сбить с толку очень многих. А несколько человек смогли пройти путь очень аккуратно, за что им почёт и уважение.

Напомню задачку:
1. Дано количество шкатулок N и набор вероятностей p0, p1, ... pN (их сумма равна единице).
2. Кто-то определил количество призов (с вероятностью p0 должен быть ноль призов, с вероятностью p1 — один приз, ... с вероятностью pN — N призов), после чего поместил их в эти шкатулки (не более одного приза в шкатулку).
3. Якубович выносит поднос с N шкатулками, сообщает игроку все данные из первого пункта, а затем спрашивает, с какой вероятностью игрок обнаружит в случайно открытой шкатулке приз. Игрок вычисляет эту вероятность — получается P.
4. Когда игрок открыл случайную шкатулку, он обнаружил приз (повезло). Пока радостный игрок укладывал приз себе в карман, Якубович захлопнул пустую шкатулку, после чего перемешал шкатулки на подносе.
5. Теперь ситуация поменялась (на подносе призов стало на один меньше), поэтому игрок вновь вычислил вероятность того, что в случайной шкатулке будет приз — получилось Q.

Вопросы задачи состояли в том, чему равны P и Q, как они соотносятся между собой при разных ограничениях на набор pi.

Первое заблуждение, которое многие отстаивали — вероятность P всегда превосходит Q.

Объяснение приводилось примерно такое: «Если предположим что призов было k, то P = k/N, а Q = (k-1)/N. Из этого легко доказать, что Q < P». Мне это напомнило высказывание одной ученицы: «Так как в условии задачи не сказано, какая это трапеция, то можно считать, что она равнобедренная, тогда...». Да, иногда полезно бывает временно упростить условие задачи, чтобы лучше понять, с чем мы имеем дело. Но надо с большой осторожностью распространять результаты модифицированной задачи на исходную.

Предположив, что k известно, мы превратили интересную задачу, полную изюминок, в детское упражнение. Поэтому сейчас надо провести работу над ошибками — объяснить самим себе, почему приведённое выше рассуждение некорректно.

Те, кого не смутила эта проблема, правильно ответили на первый вопрос задачи (чему равно P), но почти все ошиблись при вычислении Q. Итак, продолжаем ощупывать нашу задачку, погружаясь на следующий уровень.

Рассмотрим второе заблуждение: Q = (p1*0 + p2*1 + p3*2 + ... + pN*(N-1)) / (N * (1 - p0)). Это неверный ответ, хотя многие были так рады, что легко избежали первого заблуждения, что не задумываясь попались в сети второго.

Обоснование было примерно следующим:
- после того, как один приз убрали, количество призов стало описываться новым набором q0, q1, ... qN,
-- q0 должно быть равным p1 (вероятность того, что сейчас призов ноль такая же, как раньше была вероятность того, что приз ровно один),
-- q1 должно быть равным p2 (вероятность того, что сейчас один приз такая же, как раньше была вероятность того, что призов ровно два),
и т.д.
-- qN равно нулю, так как призов сейчас не более N-1 (один уже вынули),
- но сумма q0+q1+...+qN должна быть 1, поэтому надо «отнормировать» (поделить все эти qi на (1-p0)).
- так мы получили набор вероятностей q0=p1/(1-p0), q1=p2/(1-p0), q2=p3/(1-p0)..., qN=0. Осталось только подставить эти qi в ранее полученную формулу для P.

В этом рассуждении содержится ошибка, поэтому мы получили неправильную формулу для вычисления Q. А раз так, то все следующие выводы могли быть ошибочными (редкие люди смогли правильно ответить на четвёртый вопрос о случае p0=p1=...=pN).

Давайте и здесь проведём работу над ошибками. Как мы наступили на эти грабли? Всё звучало (а, возможно, до сих пор звучит) так правдоподобно... Тут надо хорошо понять, что происходит с вероятностями pi, когда мы обнаружили приз в шкатулке. Кажется, что они просто «сдвинулись на единичку», а на самом деле они очень заметно «перераспределились».

Такие рассуждения могут звучать сложно и мутно, поэтому гораздо надёжнее решить такую задачу, применив теорему Байеса (как это сделано в комментариях). Но я призываю не отказываться от подобных размышлений, так как нам надо развивать свою вероятностную интуицию. Когда мы решаем задачу «методом кувалды» (в данном случае, опираясь на теорему Байеса), то ошибиться можем только в вычислениях. Это полезное упражнение, но оно нас почти не развивает.

А вот когда мы решаем задачу, прорываясь через неумелые подсказки «здравомыслия», то хорошо растёт наше умение вовремя себя останавливать на поле с граблями. Пожалуйста, напишите в комментариях, где спрятались ошибки в объяснениях к первому и второму заблуждениям. Если можете, напишите свои рассуждения для правильного вычисления Q (естественно, без теоремы Байеса, потому что с ней и зайца можно научить задачи решать).

Хорошего дня!