О случайных процессах

В комментариях к нашей совместной с Борисом Нечаевым заметке «Что такое случайность?» развернулась очень интересная дискуссия. И сейчас мы предлагаем её продолжить с новыми фактами. Заметка получилась не очень короткой, но, надеемся, познавательной. Ну а перед ответом на вопрос о существовании истинно случайный процессов давайте зададимся другим вопросом: а зачем вообще нужны случайные процессы? Какая нам разница, существуют они или нет?

Если оглянуться по сторонам, то можно найти множество случаев, когда требуется последовательность случайных чисел, предугадать которую никто не может. Простейший пример - выигрышная комбинация лотереи. В книге «Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life» описан следующий случай: в 1920-х годах один из преступных синдикатов Нью-Йорка использовал последние пять чисел ежедневного баланса казначейства США для генерации выигрышной комбинации в своей нелегальной лотерее, поскольку ничего лучше найти не удалось. В то время этого было достаточно для успешной лотереи, но в наши дни, используя современные статистические методы, можно было бы найти регулярность в этих числах, чтобы начать делать ставки на более вероятные исходы.

Схожий пример - онлайн казино, владельцы которых сильно заинтересованы, чтобы их случайные числа никто не мог угадать. Полтора года назад мы уже обсуждали пример того, к чему может привести плохая или неправильная генерация случайных чисел в онлайн покере.

Также случайные числа необходимы для криптографических алгоритмов, используемых для шифрования сетевого трафика в Интернете, банковских транзакций и так далее. Одна из первых уязвимостей, основанная на «плохих» случайных числах была обнаружена в браузере Netscape аж в 1995 году, когда Интернетом пользовалось примерно в сто раз меньше человек, чем сейчас. Другая крупная уязвимость была обнаружена в популярном семействе дистрибутивов линукса Debian совсем недавно - в 2008 году. Разработчики дистрибутива просто закомментировали пару строчек в алгоритме генерации случайных чисел, потому что отладчик из-за этих строк выдавал слишком много предупреждающих сообщений. А когда отладка была окончена, раскомментировать строчки забыли.

Другими словами, случайные числа - вещь крайне важная в самых разных областях человеческой деятельности. Теперь мы рассмотрим способы генерации случайных чисел. И попробуем определить, правда ли они случайны.

В древности и в средние века люди использовали монетки, кубики и другие простые объекты, чтобы генерировать случайные числа. Как мы уже убедились, такой подход плох, поскольку очень трудно сделать объект, который будет выдавать совершенно равновероятные результаты для всех возможных исходов. Этой особенностью предприимчиво воспользовался британский инженер Джозеф Джаггер. В 1873 году он с шестью помощниками отправился в казино и принялся записывать выпадания чисел на рулетках. Обнаружив, что на одном из рулеточных столов некоторые числа выпадают заметно чаще остальных, он принялся ставить деньги на эти числа. После забавной игры в кошки-мышки с владельцами казино, которые заподозрив неладное начали по ночам переставлять столы местами, Джаггер в общей сложности выиграл около 325 тысяч долларов, что в переводе на сегодняшний курс составляет около 5 миллионов.

Кстати, а задумывались ли вы, откуда вообще берётся случайность в таком простом действии, как бросание монетки? Почему, подбрасывая монетку несколько раз, пытаясь сделать это совершенно одинаково, мы всё равно получаем разные результаты? Причиной такого поведения является динамический хаос, присущий многим нелинейным системам. В принципе, в детерминированной системе начальные условия (в нашем примере - положение монетки, сила и направление броска, и так далее) полностью определяют дальнейшую эволюцию, а значит абсолютное повторение начальных условий привело бы к тому же результату. Проблема же в том, что даже небольшое различие в начальных условиях «усиливается», поэтому через некоторое время система ведёт себя совершенно иначе, и монетка может упасть на другую сторону.

Таким образом, для наблюдателя, который не может узнать начальные условия с достаточной точностью, результат будет истинно случайным, в том смысле, что он не имеет возможности его предсказать. Однако не стоит путать случайность и равновероятность: даже истинная случайность (в смысле отсутствия детерминированной модели) не гарантирует того, что все исходы будут выпадать равновероятно - этим и воспользовался вышеупомянутый Джозеф Джаггер.

Сегодня во многих операционных системах и приложениях используются генераторы псевдо-случайных чисел. Такие генераторы также основаны на динамическом хаосе, возникающем вследствие математических преобразований, однако по своей природе являются детерминированными. В этом случае наблюдатель может предсказать результат, угадав начальные условия генератора. Вероятность такого угадывания всегда может быть уменьшена путём увеличения количества возможных начальных состояний (длины ключа), но можно ли это назвать истинной случайностью?

Избавиться от такого угадывания позволяют очень сложные динамические системы, обладающие огромным числом исходных состояний, а также недостаточно точно известными на сегодняшний день физическими законами. В качестве примера можно привести атмосферу нашей планеты, производящую атмосферный шум или проводник со множеством носителей, генерирующий тепловой шум.

Но по-настоящему случайные явления, недетерминированность которых гарантируется законами физики и математическими выкладками, происходят в квантовой механике. Кстати, ученых физиков, до этого считавших, что мы живем в абсолютно детерминированном мире и что все процессы можно однозначно проследить из начальных условий, квантовая механика повергла в настоящий шок. Многие наверное слышали знаменитую фразу Альберта Эйнштейна «Бог не играет в кости», в которой он выразил свое отношение к индетерминизму квантовой механики. Нильс Бор, который кстати любил поспорить с Эйнштейном на тему пристрастия Бога к азартным играм, говорил: «Тот кто не был шокирован квантовой механикой, просто ее не понял».

В чем же коренное отличие квантовых явлений от подкидывания монетки? Оказывается, квантовые объекты подчиняются принципу неопределенности Гейзенберга, который гласит, что мы не можем со сколь угодно большой точностью измерить все необходимые параметры такого объекта. То есть, не можем не просто из-за того, что не хватает технических возможностей, а в принципе не можем. А раз не можем измерить всех параметров, значит не можем и предсказать исход процесса.

Эйнштейна такое состояние дел не устроило, поэтому он предложил мысленный эксперимент, призванный указать на неполноту квантовой механики. Эйнштейн утверждал, что квантовые явления все-таки схожи с подкидыванием монетки, просто все нужные параметры либо еще не открыты, либо скрыты от нас. Эту теорию так и стали называть - теорией скрытых параметров.

Но Эйнштейн в этом случае был неправ, так как Джон Белл математически показал возможность постановки эксперимента, который однозначно опровергнет существование скрытых параметров. С тех пор было поставлено множество таких экспериментов со все большей и большей точностью, и все они подтвердили, что индетерминизм - неотъемлемая черта квантовой механики. Остаётся вопрос о том, являются ли эти эксперименты абсолютным доказательством принципа Гейзенберга или всё же возможна какая-либо альтернативная модель мира... На него может ответить (если ответ существует) только специалист в этой области.

Таким образом, ответ на поставленный нами ранее вопрос утвердительный: да, истинно случайные явления существуют, по крайней мере в рамках существующей модели мира. Но возможно ли их практическое применение? Снова «да»! Исследователи постоянно совершенствуют способы генерации случайных последовательностей при помощи квантовых явлений. К примеру, одна из заметных статей в этом направлении появилась всего чуть более месяца назад в журнале Nature. А вот так выглядит квантовый генератор случайных чисел, который можно подключить к USB или воткнуть в шины PCI и PCI Express.

Хорошего дня!