Математические ментальные вирусы

Добрый день.

А иногда так бывает: услышал где-то задачку, а она почему-то заинтересовала. И вот уже несколько дней, двигаясь куда-либо пешком, полностью улетаешь в какой-то параллельный мир... А друзья потом обижаются, что не поприветствовал их, хотя проходил в двух шагах. Да, у меня пока хорошее зрение! Да, я с удовольствием бы поговорил с вами. Но в тот момент меня не было в том пустом теле.

Давайте приведём несколько примеров:

1) Недавно avva перепечатал сентябрьскую задачку от IBM. Приведу здесь его перевод:

Перевод условия: Алиса и Боб играют против казино следующую игру: в каждом раунде Алиса выбирает бит 0/1, потом Боб, потом казино; все выборы публичные. Алиса и Боб выиграли раунд, если все три выбора одинаковые, и проиграли в обратном случае. При таких условиях казино побеждает тривиальным образом (т.к. видит выборы Алисы и Боба), поэтому на самом деле казино заранее записывает все свои выборы и они хранятся в сейфе и открываются по одному.

Алиса и Боб могут договориться о стратегии заранее, но не могут обмениваться информацией во время игры (кроме своих выборов). Перед началом игры Боб подкупает работников казино и получает всю последовательность выборов казино, но он не может уже к этому моменту передать эту информацию Алисе.

При этих условиях Алиса и Боб могут обеспечить себе победу в 50% раундов: на нечетных раундах Боб выбирает то, что Алиса (и Боб) должны поставить в следующем раунде, и таким образом во всех четных раундах они выигрывают.

Нужно доказать, что в игре из n=9 раундов Алиса и Боб могут обеспечить минимум 6 побед.

В этой задаче хочется придумать изящное решение, но оно никак не приходит в голову. Я чувствую, что должно быть много совершенно неизящных (перебором, пусть и очень большим, их можно найти, но совершенно нет желания), но организм требует именно красивой идеи. А её у меня пока нет.

Разглядывая эту проблему, я вспомнил очень близкую по духу и совсем недавно разобранную задачку с Турнира Городов о выборе четырёх карт из пяти. Если вы её ещё не решили, то настоятельно рекомендую это сделать, потому что это приятно и интересно. Если знаете и решили про 52 карты, но не видели модификации с 53 картами (ещё и с джокером), то рекомендую продумать её (если что, разбор опубликован). С моей точки зрения, эта задачка очень похожа, но проще приведённой выше задачи об Алисе, Бобе и казино.

2) Другой пример ментального вируса формулируется гораздо короче, но тоже пожирает много времени. И делает это он не из-за того, что у меня много времени, а по той простой причине, что хорошо составлен. Ну или просто удачно подходит к моим уязвимостям.

Звучит задачка так: Докажите, что у уравнения «сумма кубов трёх целых чисел равна трём» (x³ + y³ + z³ = 3, где x, y и z являются целыми числами) конечное число решений.

Я почти уверен, что есть всего два решения. А вы? Какие видите идеи решения?

3) А помните, как мы с островом Беззеркалья боролись? Чудесное время было :)

А какие задачки самопроизвольно захватывали вашу голову? (особенно в ситуациях, когда собралась большая очередь настоящих важных дел)

Хорошего дня!

P.S.
Приношу извинения перед всеми, кого только что заразил математическими ментальными вирусами. Иначе я не мог, вирус требует (кстати, о подобном распространении заразы рекомендую забавное видео про зомби и прочие радости, которое с точки зрения ни разу не биолога является познавательным и расширяющим кругозор (настоящие биологи, что вы думаете про такую популяризацию науки?))