О точных вычислениях

Добрый день.

Любите ли вы разные представления вещественных чисел в компьютере так, как люблю их я? Считаете ли вы Excel стабильным и более-менее надёжным приложением? (А ведь иногда в нём ведут бухгалтерию небольших организаций... Да и мы не так давно задачку решали.)

А давайте проведём быстрый эксперимент! Если у вас есть на компьютере Excel или другой табличный процессор, то попробуйте сделать следующее:
- поместите в ячейку A1 число 0.1,
- под ней (в ячейку A2) вставьте формулу «=1001*A1-100» (как на картинке справа),
- обратите внимание на то, что в ячейке A2 вычислилось как раз значение 0.1 (как и должно было быть: 1001*0.1-100=0.1),
- подумайте, что будет, если «растянуть» эту ячейку вниз (т.е. распространить действие этой формулы на следующие ячейки),
- может показаться, что мы будем всего лишь многократно применять одну и ту же операцию (умножать на 1001 и вычитать 100) к одному и тому же числу (0.1), поэтому во всех остальных ячейках должно получиться наше исходное число 0.1,
- посомневайтесь чуть-чуть,
- а теперь проведите эксперимент.

Получилось странно? Вы именно этого и ожидали? Поздравляю, у вас отличная интуиция!

Значения, которые получились у меня:
A1: 0.1 (с этого начинаем)
A2: 0.1
A3: 0.1
A4: 0.1
A5: 0.1
A6: 0.109 (всего через 5 шагов ошибка уже 9%)
A7: 8.669
A8: 8577

Всего за несколько шагов мы улетели от начального числа 0.1 в заоблачные дали.

Мораль: иногда довольно простые вычисления порождают огромную ошибку. Представьте, что кто-то подобным образом рассчитывает платежи по кредиту, но не понимает, когда и почему можно доверять компьютеру, а когда компьютер «обманет» (и, кстати, правильно сделает).

Если вас заинтересовала эта тема, то, скорее всего, вы захотите прочитать короткий раздел «ошибка в процессоре intel pentium» из книги «Наука отладки» (авторы Мэтт Тэллес, Юань Хсих):
В 1993 году корпорация Intel представила новый процессор Pentium™, который обещал стать самым лучшим процессором на рынке персональных компьютеров в то время. Через год после выпуска профессор Томас Найсели (Thomas Nicely) из Линчбергского колледжа (Lynchburg College) обнаружил ошибку и сообщил о ней в Intel. Это стало совершенным кошмаром для Intel, и в конечном итоге фирма согласилась заменять микросхему автоматически по требованию... (читать дальше всю главу)

Идея заметки была подсмотрена в блоге «Десять букв».

А какие у вас были случаи чрезмерного доверия вычислительной технике? Как вы смогли обнаружить неожиданную ошибку?

Если вам понравился этот эффект, пожалуйста, поделитесь ссылкой на заметку в Twitter, Google+, Facebook или Вконтакте. Спасибо!

Хороших выходных!