Оптимальные построения

Сегодня у нас будут две забавные задачки на построение, но сначала немного теории.

Очень многое в окружающем мире сделано так, чтобы работало, а не так, чтобы работало наилучшим образом. И тут я говорю не об оголтелом перфекционизме, а об очевидных мелочах, которые почему-то не стали доводить до ума. Если речь идёт о вещах/процессах, которые встречаются считанное число раз, то это нормально. Но тиражировать миллионами и миллиардам экземпляров идею, которую можно было маленьким усилием сделать лучше?.. Это не злобное вредительство, а плохая и массовая привычка.

В школах обычно решают задачи, чтобы получить ответ, а не чтобы найти хорошее решение. Иногда учителя высказываются о том, что ученик мог бы не исписывать три листа бумаги, а минутку подумать, но на это почти всегда идёт уверенный ответ: «Я же решил задачу!» (мы об этом говорили год назад и рассмотрели забавный пример)

Поэтому особенно ценны формулировки хороших задачек, предполагающие минимизацию сложности действий. Ещё раз поясню, зачем стоит привыкать делать коротко, а не длинно: уже сейчас есть теоремы, доказательства которых занимают несколько сотен листов, а понять их может только коллективный разум института, а не один человек. Человечеству и так уже трудно продвигаться в некоторых областях знаний. А если на каждом этапе вместо пяти действий делать семь-десять, то те же тексты станут ещё в полтора-два раза длиннее и непонятнее. Причём, неподъёмнее они станут не для читателя, а для автора (другими словами, их просто не смогут довести до законченного вида).

Недавно fdo очень дельно высказался о начальном обучении программированию. Развивая его мысль, можно вспомнить о распространённом заблуждении, что если хочешь научить детей логике, то надо учить их логике, а если хочешь научить программированию, то надо учить программированию. Только детям скучно и сложно вникать в правила вывода секвенций и мириться с жёсткими ограничениями среды программирования. Это всё только мешает ребёнку подойти поближе к логике и алгоритмическому мышлению. А раз так, то надо предложить что-то, что можно почувствовать (но при этом оно должно требовать логического мышления и желания стать программистом). Задачи на построение - это прекрасный кандидат на эту роль (тоже недавно обсуждали). Нет, не единственный кандидат. Но уж очень удачный.

Ну а теперь вернёмся к минимальности. Недавно fdo напомнил задачку про построение перпендикуляра. А ведь есть ещё очень близкая к ней формулировка про построение параллельной прямой, поэтому я предложу сразу две задачи (в условии место с отличием выделено курсивом и пунктами (а) и (б)).

На плоскости даны прямая l и точка A. С помощью циркуля и линейки без делений постройте прямую, проходящую через точку A и (а) перпендикулярную, (б) параллельную прямой l, построив при этом минимальное число вспомогательных линий.

Что такое вспомогательные линии? Это все линии, которые вам придётся провести циркулем и линейкой, чтобы найти точки, через которые будете проводить искомую прямую. Например, классическое школьное решение задачи (а) требует три линии:
1) построим окружность с центром в точке A и большим радиусом (чтобы заведомо пересекла прямую l), так мы получим точки пересечения B и C, потратив одну линию.
2) с центрами в точках B и C построим две окружности одинакового радиуса (чтобы они пересеклись друг с другом), так мы получим точки D и E, потратив ещё две линии.
3) ну а теперь через точки D и E проводим искомую прямую.

Как видите, трёх дополнительных линий хватает, чтобы решить первую задачку (а). Но можно ли меньше? А за сколько дополнительных линий вы готовы решить вторую (б)?

Хорошего дня!

P.S.
Да, я знаю, что в школьном решении выше предложены неаккуратные формулировки. Но если писать «академичнее», то текст станет в полтора раза длиннее, а понятность его снизится. Поэтому я считаю, что при решении простых задач вполне допустимы подобные огрубления. Это облегчает понимание и уменьшает пустую трату времени.

Одновременно с этим я пропустил важный этап доказательства того факта, что построенная прямая является перпендикуляром к l, проходящим через точку А. Это очень простое упражнение, поэтому оставляю его для желающих.