Теорема Пифагора

Добрый день.

В прошлой заметке (о расширениях теорий) были упомянуты «обобщения на пространства больших размерностей», что вызвало неожиданный интерес, приведший к занимательной переписке. Сейчас мне кажется, что один из моих ответов стоит опубликовать.

Это старинная задачка, позволяющая почувствовать, что в n-мерных пространствах (для n больших 3) не всё работает столь же привычно, как при переходах от прямых к плоскостям и от плоскостей к пространствам. Эти аналогии мы знаем давно, поэтому привыкли считать всё красивым и естественным (каковым оно и является), но нередко напрасно надеемся, что и при дальнейшем увеличении размерности интуиция нам поможет.

Ещё эта задачка бывает хороша на собеседованиях (естественно, многое зависит от специфики отбора), так как позволяет за короткое время услышать много разных идей... Но об этом позже. А сначала давайте вспомним теорему Пифагора. Она нам позволяет вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, зная его катеты, что можно использовать, например, для вычисления длины диагонали прямоугольника. А как теперь вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда (со сторонами a, b и c)? Правильно, сначала применить теорему пифагора для одной из граней — так мы найдём длину её диагонали d = sqrt(a^2 + b^2). А уже потом вычислить длину искомой большой диагонали sqrt(d^2 + c^2) = sqrt(sqrt(a^2 + b^2)^2 + c^2) = sqrt(a^2 + b^2 + c^2).

Сейчас мы не будем говорить о том, что таким элементарным путём мы пришли к определению евклидового расстояния, а лишь заметим неограниченность этого подхода. В n-мерном пространстве мы можем найти расстояние между двумя точками, n-1 раз воспользовавшись теоремой Пифагора. Естественно, обычно так никто не делает , потому что глупо считать квадратный корень, а потом сразу же возводить результат в квадрат. Но важно понимать, откуда возникла странная формула расстояния между точками d(A, B) = sqrt((A1-B1)^2 + (A2-B2)^2 + ... + (An-Bn)^2). Сейчас, скорее всего, мы это неплохо понимаем.

Теперь переходим к задаче, а заодно пользуемся возможностью поучаствовать в создании этой заметки (подробности будут в квадратных скобках ниже). Начать этот разговор проще всего с двумерного пространства. Представьте себе квадрат со стороной 2. Его можно разбить на четыре квадрата 1x1, в каждый из которых легко вписать окружность диаметра 1. Давайте найдём величину D2 (диаметр окружности, вписанной между этими четырьмя окружностями).

Если в большом квадрате, разделенном на маленькие, провести диагональ, то увидим, что искомый диаметр D2 состоит из двух равных половинок. Каждая половинка — это расстояние от угла маленького квадрата до окружности, которая в этот квадрат вписана. И такая же половинка находится с другой стороны окружности в этом же квадрате. Получается, что искомый диаметр равен диагонали маленького квадрата минус диаметр окружности. Т.е. D2 = sqrt(2) - 1. [Спасибо KYegres за это объяснение (в комментариях есть ещё несколько решений этой задачи)]

Отлично, так мы нашли D2. Теперь давайте рассмотрим трёхмерный случай. Представьте себе куб со стороной 2. Его можно разбить на восемь кубов 1x1x1, в каждый из которых легко вписать сферу диаметра 1. Давайте найдём величину D3 (диаметр сферы, вписанной между этими восемью сферами).

Расстояние между центрами сфер, лежащих на большой диагонали куба, равно sqrt(3), а радиус каждой из этих сфер равен 1/2. Получается, между центрами этих сфер есть только они сами и вписанная сфера => D3 = sqrt(3)-1/2-1/2 = sqrt(3)-1. [спасибо анонимному комментатору за это решение]

Прекрасно, теперь мы нашли D3. А теперь давайте зададимся вопросом: к какой величине будет стремиться значение Dn при росте n? Или по-русски: к чему приближается диаметр сферы, вписанной между единичных сфер, прижатых к углам n-мерного куба со стороной 2?

Что такое сфера в n-мерном пространстве? Это множество n-мерных точек, удалённых от центра сферы на одинаковое расстояние. Так как расстояние мы считать умеем, то и с множеством таких точек работать можем. С n-мерными кубами ещё проще, так как там даже корни с квадратами считать не надо, а всё прямо задаётся неравенствами.

Давайте попробуем найти D9 и D16 (диаметры вписанной окружности для случаев девятимерного и шестнадцатимерного пространств). Достаточно посмотреть на одну из главных диагоналей n-мерного куба. Ее длина 2*sqrt(n), центр искомой сферы лежит прямо посередине неё, центры двух вписанных в куб сфер лежат на ней, точки касания искомой сферы и сфер, вписанных в куб лежат тоже на ней (строго не готов доказать, но визуально достаточно очевидно и из всяческой симметрии вроде бы должно получиться). Теперь смотрим на половинку этой диагонали. Расстояние от ее конца, являющегося углом куба, до центра вписанной в куб сферы — sqrt(n)/2 (ровно четверть всей диагонали), радиус вписанной в куб сферы 1/2, в итоге радиус искомой сферы (sqrt(n)-1)/2, а диаметр — sqrt(n)-1 [Спасибо Eyeless за это описание].

Подставим 9 и 16 в найденную формулу:
- D9 = sqrt(9) - 1 = 3 - 1 = 2,
- D16 = sqrt(16) - 1 = 4 - 1 = 3.
Получается, что диаметр сферы, зажатой между сфер, вписанных в углы куба, совпадает со стороной этого куба (или даже выходит за его пределы). «Немного» странно, верно?

Как же так? Да, выглядит странно. А теперь надо понять, кто нас обманул: Пифагор, интуиция или ещё кто-то? :) Приглашаю в комментарии обсудить детали этого безобразия.

[Благодарю Arthur Baraov за очень подробные рассуждения по поводу этой задачи]

Хорошего вечера!