А сегодня будет алгебраическая задачка. И опять о кубах, как договаривались.Итак, британские учёные решили найти все тройки простых чисел, одно из которых является разностью кубов двух других. Для этого они зарядили суперкомпьютер на перебор и проверку всех троек простых чисел (ага, «зачем думать, если есть компьютер?»).
А вопрос у задачи простой: перечислите все такие тройки простых чисел (и докажите, что других нет). Естественно, предполагается решение без использования суперкомпьютера :)
Хорошего окончания выходных и удачного начала недели!
Все простые числа, кроме 2, нечетны. Их кубы тоже. Соответственно, p^3 = q^3 - r^3 может быть только если r = 2 или p = 2. Допустим, r = 2.
ОтветитьУдалитьТогда p^3 = q^3 - 8, следовательно:
(q - p)(q^2 + qp + p^2) = 8
Есть 4 варианта:
1) q - p = 1; q^2 + qp + p^2 = 8
Быть не может, т.к. q и p должны быть нечетны.
2) q - p = 2; q^2 + qp + p^2 = 4
(q - p)^2 = 4 = q^2 - 2qp + p^2
Не сходится.
3) q - p = 4; q^2 + qp + p^2 = 2
Быть не может, т.к. p и q больше 2.
4) q - p = 8; q^2 + qp + p^2 = 1
Тем более быть не может.
Забыл ответ) Таких троек простых чисел нет.
ОтветитьУдалитьShooshpanchick, Вам сказать номер строчки с ошибкой? ;-)
ОтветитьУдалитьShooshpanchick, еще вы видимо неправильно прочитали условие:
ОтветитьУдалить"найти все тройки простых чисел, одно из которых является разностью кубов двух других"
то есть, нужно найти p, q, r - такие, что p^3 - q^3 = r (а не r^3 как вы считаете)
Ответ 2 3 19.
ОтветитьУдалитьРешение
p=q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2).
q^2+qr+r^2>=3 -> q-r=1 и q^2+qr+r^2=p
Из простоты следует что q=3 r=2 -> p=19.
Я рассуждал так:
ОтветитьУдалитьx^3-y^3=z
Ясно, что тут одно из чисел должно быть чётным, единственное такое простое - 2.
z не может быть 2, т.к. разница кубов любых нечётных чисел, даже соседних, больше(вариант с чётным простым, т.е. y=2, рассмотрел отдельно - не подходит).
x не может быть 2, т.к. y тогда должно быть меньше двойки.
Значит, x^3-8=z
Раскладываем:
(x-2)(x^2+2x+4)=z
Из простоты числа z следует либо первый, либо второй множитель = 1.
В первом случае x=3, z=19
Во втором x^2+2x+3=0 - не имеет действительных решений.
Итого 3^3-2^3=19.
Вспомнилось число Рамануджана-Харди - если кому-то будет это интересно.
ОтветитьУдалитьhttp://ru.wikipedia.org/wiki/1729_(число)
z = x^3 - y^3
ОтветитьУдалитьИз этого следует, что
1. x, y, z не могут одновременно быть нечётными; значит одно из них равно 2;
2. x < y, значит x <> 2
Разложим разность кубов на множители
x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)
Так как это произведение должно равняться простому числу, то x-y=1 (вторая скобка не может быть =1, т.к. все числа x^2, xy, y^2 положительны и >1).
Т.к. x^2 + xy + y^2 > 3, то z <> 2.
Значит, это возможно только если
y = 2
x = 3
Тогда z=27-8=19 — простое число.
Получаем (3, 2, 19) — единственная подходящая тройка простых чисел.
Нельзя смотреть в комментарии до того, как сам не попробовал решить... Хотя, в общем-то, задача не сложная и суперкомпьютер тут уж точно не нужен :)
ОтветитьУдалитьСловосочетание "британские ученые" скоро станет именем нарицательным :)
monkegoist, в данной задаче "британские учёные" присутствуют именно по той причине, что уже стали именем нарицательным.
ОтветитьУдалить- Не смотря в комментари: -
ОтветитьУдалить1) Все простые числа, кроме 2, нечёиные.
x^3-y^3=z
(x-y)*(x^2+x*y+y^2)=z
Так как z-простое, то либо
x-y=z, x^2+x*y+y^2=1 - очевидно, что второе равенство невыполнимо.
либо:
x-y=1, x^2+x*y+y^2=z
Значит x=y+1, значит они разной чётности. А единственное чётное простое число - это двойка.
Т.е. x или y равно 2. (*)
Если y=2, то получаем решение: x=3, y=2, z=19.
Если x=2, то получаем решение: x=2, y=1, z=7, но так как современная наука 1 не считает простым числом, то это решение не соответствует условию задачи.
Других решений (без 2) быть не может согласно *.
Ответ: x=3, y=2, z=19.
darth-sauber, спасибо за ссылку :)
ОтветитьУдалитьShooshpanchick, то, что p^3 = q^3 - r^3 не имеет решений можно доказать просто ссылкой на великую теорему ферма :)
ОтветитьУдалитьЗабавная задача, особенно после предыдущей. Инерция мышления заставляет сразу задуматься о четности, тем более что так тоже можно решить. Но если не торопиться, легко увидеть, что напрашивающаяся формула разности кубов дает однозначный ответ: произведение двух целых чисел (напоминаю с = (a-b)*(...) ) может быть простым, только если один из сомножителей равен единице. сумма натуральных чисел всегда больше единицы, значит, остается a-b=1. Таких простых чисел всего одна пара: 3-2=1 (хотя бы потому, что для больших простых чисел между ними будет минимум одно четное). Ответ: 19=3^3-2^3. Со всеми оговорками доказательство получилось не короче, чем с четностью, и на нечетность простых чисел больше двух все равно пришлось сослаться. Но, субъективно, подход от a-b=1 кажется менее "переборным", если так можно сказать.
ОтветитьУдалитьа^3-b^3=c, где а, в, с принадлежат натуральному ряду чисел.
ОтветитьУдалитьа^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
Т.к. это произведение должно быть равным простому числу, то один из множителей равен 1. Рассмотрим:
1) а-в=1, тогда а=3, в=2 (других простых чисел, идущих друг за другом нет, ряд четных и нечетных чисел). следовательно, с=19.
2) a^2+ab+b^2=1 - это уравнение не имеет решения среди ряда натуральных чисел.
Итак, решение единственное у данной задачи - 2,3,19.