- Вот, уважаемый, вроде бы по всем предметам успеваете, а на физкультуру редко заходили. Как же так?- Да я пока лабораторные работы сделаю, пока к конференции доклад подготовлю, пока то, пока сё - вот и время ушло всё.
- Н-да, надо что-то с этим делать. Решите-ка мне задачку! Справитесь - поставлю зачёт своим волевым усилием.
Итак, задачка декана (её недавно предложили в комментариях к заметке о футболе):
На левом краю стометровой резиновой ленты находится студент, желающий получить зачёт. А на правом краю этой ленты ждёт преподаватель физкультуры, готовый поставить студенту зачёт, если тот соизволит подойти. Есть только одна тонкость: как только студент проходит один метр по ленте, она мгновенно растягивается на сто метров.
Другими словами, как только студент проходит метр в сторону преподавателя, лента удлиняется до двухсот метров (поэтому расстояние до заветного зачёта становится равным 198 метров). После этого студент приближается ещё на один метр, а лента опять прибавляет 100 метров к длине. Поэтому студенту надо будет преодолеть 295.5 метров. И так далее.
Вопрос: получит ли студент зачёт, если проявит настойчивость?
(с ленты сходить нельзя)
Уточнения:
- лента растягивается равномерно,
- материал ленты прочный, поэтому она не порвётся, во сколько бы раз её ни растянули,
- студент, желающий получить зачёт, может успеть добраться даже до очень далёкой цели в кратчайшие сроки :)
Студентам желаю легко всё сдать, а семинаристам - подготовленных студентов на экзаменах. И всем хороших выходных!
Земля круглая, около 40 000 км окружность.
ОтветитьУдалитьЕсли студент пройдет около 404,04 км вперед лента его занесет с обратной стороны.
А если студент слелает шаг назад?
ОтветитьУдалитьСначала хотел написать, что лента удлиняется, а препод остается на месте. А потом понял что значат "правый" край ленты и "левый". =)
ОтветитьУдалитьАндрей Цяпа, отличная идея!
ОтветитьУдалитьПоэтому давайте считать, что в этой задаче Земля плоская :)
Sergey Ryzhikov, ему зачёт нужен, поэтому двигаться следует к преподавателю, а не от него :)
Студент идёт только направо.
Если обозначить относительное положение студента на ленте как alpha, а её текущую длину как L, то следующим относительным положением будет уже (alpha + 1/L). Выполнив ещё одну итерацию получим (alpha + 1/L + 1/(L+100)) и так далее (желающие могут убедиться сами).
ОтветитьУдалитьПолучаем ряд вида:
alpha + 1/L + 1/(L+100) + 1/(L+200) + 1/(L+300) + ...
Подставим начальные данные: alpha = 0, L = 100.
1/100 + 1/200 + 1/300 + ...
или
(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)/100
В скобках находится расходящийся ряд, насколько я помню из курса математики (могу ошибаться). Если он расходится, значит студент получит зачёт.
Если студент пройдет "до очень далекой цели в кратчайшие сроки" то зачет по физкультуре получит однозначно!
ОтветитьУдалитьсобственно какая нам разница, что лента растягивается?
ОтветитьУдалитьСтудент пройдет 100метров, лента станет длиной 10км, но зачет он получит ))
У этой задачи есть ответ? Похожая была у Гарднера, точно не помню ответа, но там не так всё однозначно. Задача такая: есть ваза, в неё за пол часа до полудня кладут карточки с номерами от 1-го до 10-ти, и вынимают номер 1. За 15 минут до полудня кладут второй десяток (с 11-ти до 20-ти), и вынимают число 2, за 7.5 минут до полудня кладут третий десяток, и вынимают номер три, и т.д. - каждый раз промежуток кремени уменьшается вдвое, добавляют новый десяток, и вынимают одно число. Вопрос - сколько чисел будет в вазе ровно в полдень?
ОтветитьУдалитьА подвох в том, что когда лента растягивается студент тоже движется?
ОтветитьУдалитьтут есть два соображения: математическое (основанное на том, что "лента растягивается равномерно) и физическое (говорящее о том, что студент непременно на...пишется "с двумя цэ" с ленты, а физрук - обгорит от трения о воздух).
ОтветитьУдалитьПоскольку задолго до того, как студент доберётся до преподавателя, лента станет шириной и толщиной в 1 молекулу с относительно большим расстоянием между соседними молекулами (сантиметры, потом и метры), то при её последующем растягивании студент сдвигаться не будет. Следовательно, и зачет не получит.
ОтветитьУдалитьЕсли студент ооочень хочет зачет получить, то он уболтает физрука,и тот сам к нему придет)))
ОтветитьУдалитьДойдет. Excel - наш лучший друг
ОтветитьУдалитьЕсли вместо удлинения ленты укорачивать студенту ноги, то длины его шагов будут 1/N, а sum(1/N) расходится. Значит - 100 метров точно пройдёт.
ОтветитьУдалитьНе дойдет, быстрее в армию заберут
ОтветитьУдалитьАхиллес и черепаха наоборот?
ОтветитьУдалитьКстати, довольно удобно считать пройденное расстоняние не в метрах, а в % -- сразу видно, что ряд расходится, а студент уже на сотом пройденном метре будет почти у цели.
ОтветитьУдалить(1 + 1/2 + 2/3 + 3/4 + ...)%
Не понял задачку... по условию, если студент пройдет метр, то лента удлиеиться на 100, и станет равной 200 метров, соответствено и студенту надо будет до цели пройти 199 метров, а не 198. Или я не правильно понял задачу
ОтветитьУдалитьArtemy,
ОтветитьУдалитьАхиллес и черепаха получились бы, если бы физрук стоял на расстоянии 2м, а лента бы растягивалась не на 100м, а в 2 раза. =)
Илья Весенний,
любопытно, можно ли придумать такой вариант задачи, в котором результат достигался бы лишь при дискретном движении студента (например, если студент догадается двигаться прыжками по 2 метра).
А задачка в такой постановке значительно более волнующа и близка сердцу, чем если бы речь шла об улитке и ленте на земле длиной в метр!! Спасибо! ;-))
ОтветитьУдалитьНет, не дойдет никак...
ОтветитьУдалитьНа мой взгляд есть два нематематических варианта:
ОтветитьУдалить1. Студент должен идти обратно. Тогда физрук придет к нему сам.
2. Земля круглая и рано или поздно физрук догонит студента со спины.
Если предположить, что земля плоская, а студент идет только к физруку - получается, что в явном виде он не дойдет до физрука никогда.
Кстати, мысль. Студент ведь находится на самой ленте. И удлинняется она ВСЯ. следовательно - удлиннение ленты приближает студента к физруку
Задача обратная апории о Ахиллесе и черепахе :)
ОтветитьУдалить[b]fs-FAF[/b]
ОтветитьУдалить> собственно какая нам разница, что лента растягивается?
Задача студента - не пройти 100м, а дойти до преподавателя.
[b]Sergey Ryzhikov[/b]
> Кстати, довольно удобно считать пройденное
> расстоняние не в метрах, а в % -- сразу
> видно, что ряд расходится, а студент уже на
> сотом пройденном метре будет почти у цели.
По моим подсчетам на сотом пройденном метре студент будет в 9,5 километрах от преподавателя :)
Вы, имхо, считаете некорректно совершенно.
Пусть у нас номер шага обозначен i
Изначальное расстояние - s
Удлиннение ленты за один шаг обозначим x (=100)
Общую длину ленты на i-ом шаге обозначим L[i]
Расстояние "справа" от студента обозначим S[i]
На "i+1"-ом шаге расстояние "справа" будет равно:
S[i+1] = S[i] - 1 + ((S[i]-1) * x / L[i])
L[i] в формуле можно заменить на S[0]+x*i
Проверим формулу:
Начальное положение i=0, L[0] = 100, S[0] = 100
Первый шаг: i=1, L[1] = 200, S[1] = 100-1+99*100/100 = 198
Второй шаг: i=2, L[2] = 300, S[2] = 198 - 1 + 197*100/200 = 197 + 197/2 = 295,5
Вот Excel'евский файл с расчетом:
http://sukebe.ru/moving_student.xls
Но попробуем все-таки разобрать "полуаналитически" (подставив начальные данные типа S[0] и x).
Преобразуем формулу для S[i+1] и посмотрим на нее внимательно:
http://sukebe.ru/eqn1248.png
Как думаете, можно считать, что при i стремящемся к бесконечности будет верно следующее равенство?
http://sukebe.ru/eqn1249.png
Если здесь я не ошибся (а меня этот момент очень беспокоит, ну совсем уверенности нет), то студент-таки дойдет до препода (если тот согласиться подождать пару лет :))
Не дойдет он до физрука (2 < 100). И это правильно, потому как ему не к физруку надо, а к декану...
ОтветитьУдалитьДмитрий Пленкин,
ОтветитьУдалитьда, я ступил =)
Я думаю так: когда лента удлинится настолько, что слева от студента она окажется длиннее более чем в 99 раз чем справа (простите за тавтологию), ситуация будет выглядеть следующим образом: студент проходит метр, слева лента будет увеличиваться больше чем на 99 метров, а справа меньше чем на метр.Таким образом расстояние между ним и преподавателем начнет уменьшаться.
ОтветитьУдалитьОсталось выяснить, наступит ли такой момент. А вот с этим у меня проблемы =\
Лента растягивается пропорционально все время движения студента или только в момент его остановки?
ОтветитьУдалитьСорок тысяч сделанных шагов (по метру каждый) позволили пройти только 11% пути. Это значение монотонно увеличивается - студент дойдет.
ОтветитьУдалитьПротягивает купюру декану: "Вот тут цифры есть, это ответ".
ОтветитьУдалитьeyeless-watcher, в условии сказано, что «как только студент проходит один метр по ленте, она мгновенно растягивается на сто метров», поэтому можно считать, что студент дискретно движется на один метр, а сразу после этого лента мгновенно растягивается на 100 метров.
ОтветитьУдалитьGrigor, он к декану уже пришёл, чтобы получить эту задачку. Если верно решит - то зачёт у него в кармане :)
Paul, совершенно правильная мысль у Вас в последнем абзаце. С ней уже можно решать эту задачку математически. Успехов!
Шаг - один метр
ОтветитьУдалитьLi - длина ленты на i-ом шаге (L0=100)
Si - положение студента относительно левого края ленты (S0=0)
ΔL - увеличение длины ленты с каждым шагом (ΔL=100)
Длина ленты на n-ом шаге: Ln = L0+n*ΔL
Т.к. по условию ΔL=L0, то Ln = (n+1)*ΔL
Каждый пройденный метр на n-ом шаге растягивается на Ln/L(n-1), т.е.
первый пройденный метр
на 1 шаге становится длиной L1/L0
на 2 шаге - (L1/L0)*(L2/L1) = L2/L0
на 3 шаге - L3/L0
и т.д.
второй пройденный метр
на 2 шаге - L2/L1
на 3 шаге - L3/L1
и т.д.
Имеем: Sn = Ln/L0+Ln/L1+...+Ln/L(n-1)
Подставляем Ln, выраженное через ΔL:
Sn = (n+1)*ΔL/ΔL+(n+1)*ΔL/(2*ΔL)+...+(n+1)*ΔL/(n*ΔL)
Sn = (n+1)+(n+1)/2+...+(n+1)/n
Sn = (n+1)*(1+1/2+1/3+...+1/n)
Предположим, студент дошел до физрука или перешагнул через него на n-ом шаге, тогда Ln ≤ Sn
(n+1)*ΔL ≤ (n+1)*(1+1/2+1/3+...+1/n)
ΔL ≤ 1+1/2+1/3+...+1/n
Левая часть неравенства равна 100, а правая стремиться к 2 при росте n
Однако 2 < 100, следовательно студент не дойдет
Ой, недосып сказывается :) надо читать, что написал, на один раз больше...
ОтветитьУдалитьТаки дойдет. Скорость движения студента увеличивается с увеличением длинны ленты. Соответственно скорость удаления преподавателя от студента уменьшается.
ОтветитьУдалитьГрубое моделирование:
Если взять начальную длину ленты равную 10 и увеличение то же равное 10 то расстояние между преподом и студентом выглядит так.
По идее это можно решить через ряды или лимиты, но я уже забыл это все.
Получит он свой зачет примерно на 849 650 539 080 704 000 000 000 000 000 метровом шаге
ОтветитьУдалитьПусть шаг у студента - метр. (Воспользуемся допущением, что лента удлиняется только после того как студент сделал шаг).
ОтветитьУдалить1. Студент шагнул - прошел 1/100 ленты. Длина ленты стала 200. Но, какая бы длина не стала у ленты, он все равно будет на расстоянии 1/100 от левого конца ленты.
2. Следующий шаг в один метр 1/200 ленты. - Всего 1/100 + 1/200 = (1/1 + 1/2)*(1/100)
3. 1/300.
и т.д.
1 + 1/2 + 1/3... - расходящийся ряд.
Так что получается, что дойдет.
PS. А сразу после прочтения задачи кажется, что никогда не дойдет. И даже думать не надо! Но было бы полной неожиданностью, если бы Илья Весенний задал задачу без подвоха. Т.е. такую которая дает именно тот ответ который кажется верным. И уже практически "очевидно", что ответ у задачи будет противоположным ответу при первом взгляде. Что входит в привычку, привычку не думать :)
если студент сделает 1 шаг вперёд и 2 шага назад, лента сама подтащит препода к нему.
ОтветитьУдалитьнет?
"лента растягивается равномерно"
ОтветитьУдалитьРасстояние между студентом и преподавателем уменьшается на 1 м и одновременно увеличивается на расстояние пропорциональную доле остатка ленты к полному расстоянию. Через некоторое время эта доля станет меньше 1% и студент начнет приближаться к преподавателю.
Если вложиться в норматив по бегу, то студент добежит до зачета за 6 мин
Фигушки — она кажется логарифмической только в начале, но потом резко возрастает.
ОтветитьУдалитьДля интереса я посчитал, что будет, если лента будет 5 метров и таким же будет прирост. Получилось, что студент дойдёт до преподавателя чуть более, чем за 80 шагов.
График зависимости оставшегося расстояния от номера шага: http://malinnikov.ru/files/ribbon.png
XLS-файл с расчетом: http://malinnikov.ru/files/ribbon.xls
Зачем такие сложные расчеты?))))
ОтветитьУдалитьВсе происходит линейно
После первого шага, оставшееся расстояние равно 198м (длина ленты 200м)
После второго 295,5м (длина ленты 300м)
2/198 = 0,01
4,5/295,5 = 0,02
0,02 > 0,01 а так как не линейных хитростей нет, то отношение пройденного расстояния к оставшемуся будет все время увеличиваться, таким образом студент получит зачет
Нет, отношение пройденного расстояния к оставшемуся растёт нелинейно. Сначала резко возрастает, потом скорость роста замедляется, как при логарифме, но затем резко возрастает снова.
ОтветитьУдалитьКроме того, прирост этого отношения не обязательно означает, что студент дойдет до цели. Пусть пройденное расстояние в 10 000 раз больше, чем оставшееся, это не означает, что оставшееся станет отрицательным, он мог бы при опр. условиях бесконечно приближаться.
Вообще предполагаю, что если бы при одном шаге лента увеличивалась бы, скажем на 100м+1мм, то студент бы не дошел)))))
ОтветитьУдалитьКто проверит?
Я проверил, что дойдёт, подставив в условие вместо 100 метров — 5, потому что так быстрее видно развитие событий.
ОтветитьУдалитьДойдет и при 100 и при 200 метровых приростах, только шагов понадобится больше. В этом, надо полагать, и заключается физкультура.
Sergey Ryzhikov, наверняка можно придумать такую вариацию задачи, но мне ничего такого пока не удалось ни вспомнить, ни придумать. Пишите, если найдёте - подумаем :)
ОтветитьУдалитьУважаемый аноним, соображение про 100м+1мм не очень понятно. В чём сложность? Как только расстояние до зачёта будет всего один миллиметр, студент только начнёт делать свой шаг (1мм), а лента не растянется (потому что она это делает только после полного метра, пройденного студентом). Я не вижу проблемы. А Вы?
Хорошая задачка. Я на подобную наткнулся в Этюдах для программистов на RSDN "Человек и паучок". Если пытаться решать интуитивно (на глазок, спереди приращение сильно больше и даже то что сзади резинка тоже растянется - очень малое приращение и типа никогда не догонит) - то интуиция обманывается (и можно сильно попасть впросак доверяя интуиции ;)).
ОтветитьУдалитьА если рассмотреть с точки зрения математики - все наоборот. Более того в задаче про паучка (там расстояния другие) даже время получается очень приемлемое - за <7 часов догонит.
Предполагал, что через через 1000 шагов, этот миллиметр накопит еще один метр, шагнув на который студен снова отодвинется на N-ое растояние от цели. Посчитал. Предположение ошибочно.
ОтветитьУдалитьЩербак Алексей, а Вы помните условие той задачки? Если не трудно, покажите ссылку, пожалуйста.
ОтветитьУдалитьНа n-том шаге студент прошел (n+1)(sum(1/n)), длина ленты: 100*(n+1). То есть студент догонит препа, когда sum(1/n)>=100. Википедия сообщает:
ОтветитьУдалитьГармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10^43 элементов ряда).
Счастливого пути!
http://www.rsdn.ru/forum/etude/2620563.flat.1.aspx
ОтветитьУдалитьВот ссылка. Тред на 5 страничек :)
Думаю подвох данной задачи состоит в том, что лента растягивается относительно центра. Соответственно, если студент доберется до центра, то он быстро доберется и до преподавателя - здесь все очевидно. следовательно, нужно ответить на вопрос - доберется ли он до центра. по моим, может неправильным, подсчетам получается, что студент перешагнет центр ленты на 8 шаге.
ОтветитьУдалитьчто-то типа
X[i]=L[i]-(L[i-1]-X[i-1])-(L[i-1]-X[i-1])*L[i]/L[i-1]
X - расстояние до центра. L - длина ленты.
кажется мне что не дойти студенту до физрука даже если проявит настойчивость :) с каждым пройденным 1 метром, он удалятся от цели (конца ленты вместе с ждущим преподавателем) ровно на 99 метров. пройдёт он 11 метров и расстояние и вот больше километра а только что было да только 100 метров. если считать что лента удлиняется с обеих сторон, то можно взять аналогичную ситуацию, но только с 2 метровой лентой - удлиняющаяся тоже на 2 м. получится рисунок http://img138.imageshack.us/img138/6821/53238937.jpg
ОтветитьУдалитьУважаемый аноним. Судя по Вашим рассуждениям, Вы не учитываете, что лента растягивается равномерно. Другими словами, студент тоже смещается при растяжении ленты.
ОтветитьУдалитьПоэтому Ваши слова «с каждым пройденным 1 метром, он удалятся от цели ровно на 99 метров» ошибочны.
Метры надо пробегать
ОтветитьУдалитьСогласен с Kirill
ОтветитьУдалить(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)/100 - гармонический ряд, а он - расходится. Прямая аналогия с задачей про Архимеда (Ахиллеса) и черепаху.
Быстрая прикидка показывает что дойдет через 15092688622113788323693563264538101449859497 метров )
ОтветитьУдалитьграфически место нахожденья студента относительно концов ленты) является кривой, а растяжение/длина ленты развивается по прямой. думаю что в точке пересечение графиков и будет получен зачёт.
ОтветитьУдалитьП.С. русский не мои родной язык, так что извините если что :)
А есть ли правильное решение?
ОтветитьУдалитьNix, выше было преждложено несколько правильных решений. Самое изящное и ясное решение (на мой взгляд) у Vitaly. Такая краткость и концентрация на важном говорят о высокой степени организации головы :)
ОтветитьУдалитьКлассная задачка спасибо. Уломал голову себе и половине отдела.
ОтветитьУдалитьСперва прикинул в голове -скорость преподавателя линейна, студента же движется с ускорением, хотя его ускорение будет постоянно уменьшаться.
Потом вывел на какое расстояние сдвигается студент и препод на каждом шаге:
s1 (препод) = s1 + 100
s2 (студент) = s2 + 1 (шаг студента) + 100*s2/s1 (смещение студента за счет растяжения ленты)
И написал программу чтобы посчитать сколько же пройти надо... не помогло. Слишком большое число.
Потом вспомнил про метод регрессии и посчитал для меньшей длинны и прироста ленты.
путь который проходил студент с каждой новой лентой оказался геометрической прогрессией с коэффициентом q=2.71828
соответственно при длинне ленты в 100 он дойдет до преподавателя гдето через 1*q^99 шагов.
Решение конечно не математическое - но здорово напомнило матерьял по моделированию техпроцессов, по которому недавно сдавал экзамен.
Вот как вижу это я:
ОтветитьУдалитьСтудент стоит на ЛЕВОМ краю ленты,препод-на ПРАВОМ.С каждым пройденным метром студента к преподу(поперек ленты)она увеличивается на 100 метров вдоль.Студент проходит 100 метров,получает зачет,лента растягивается на 10100 метров.
Задачка по физкультуре
ОтветитьУдалить1 надо быстро добраться
2 лента растягивается, когда проходит
3 на физкультуре бегают прыгают ползают, ну и скачи к зачету , лента не потянется
4 ну или ходить по полметра, а не по метру и отдыхать, для совсем ленивых
К