tag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post3277431328618618834..comments2024-01-03T12:54:39.457+03:00Comments on Привычка не думать: Формальный подходИлья Весеннийhttp://www.blogger.com/profile/12075968879288943233noreply@blogger.comBlogger48125tag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-57763817344788147722011-03-09T13:36:12.333+03:002011-03-09T13:36:12.333+03:00> Слова «дан» в задаче нет, перечитайте пост.
...> Слова «дан» в задаче нет, перечитайте пост. <br /><br />Я знаю, я специально его туда добавил.<br /><br />Итак, мы свели предмет разногласий к вопросу, какая интерпретация «Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24» точнее: «Дан треугольник с площадью 60 и периметром 24. Найти радиус вписанной окружности» или «Доказать существование треугольника с площадью 60 и периметром 24 и найти радиус вписанной окружности».<br /><br />Я понимаю вашу точку, но не вижу достаточно аргументов для заключения равноправности интерпретаций.Vaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-46157173115488304862011-03-09T10:02:22.731+03:002011-03-09T10:02:22.731+03:00ЗЫ
Если я Вас Илья правильно понял, Вы настаиваете...ЗЫ<br />Если я Вас Илья правильно понял, Вы настаиваете на том, что (по крайней мере во время преподавания математики) необходимо всеми силами стремиться возвести решение каждой задачи в ранг произведения искусства. <br /><br />В качестве контрпримера - да, поучительно, но не надо вырабатывать такие инстинкты.<br />Я же считаю, что надо учить слушателей правильно выполнять формализацию, а всё остальное можно поручить роботу (компьютеру, студенту, технику, обезьяне в конце концов, нужное подчеркнуть). Насчет тех же треугольничков со вписанной окружностью. Научите детей, как сказать "треугольник" в терминах r, p, s и тогда они не допустят таких проколов.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-10538949718024830462011-03-09T08:18:38.470+03:002011-03-09T08:18:38.470+03:00[quote] И заметка эта о том, что если действовать ...[quote] И заметка эта о том, что если действовать формально (спустя рукова), не подключая голову, а бездумно применяя некоторые правила (забывая об остальных), то можно далеко уйти от разумных выводов и действий.<br />[quote/]<br /><br />У нас видимо разные понятия термина "формально". Определение.<br /><br />Опр 1. Формализация - процесс перевода задачи в термины математики.<br />Этот самый процесс составляет большое искусство и при переводе важно учесть все мелочи. Искусство прикладного математика здесь как раз проявляется в учете этих мелочей и недопущении таких ситуаций, <br />чтобы в конце концов возможно было получить отрицательные частоты или треугольники с невообразимым соотношением площади и периметра.<br />Наш лектор по прикладной математике на первой же лекции объяснил нам сначала следующее: Если Вы правильно формализовали задачу, то Вы её сможете решить. Достаточно всего лишь применить матаппарат к исходным данным.<br />А затем он дал нам более сильное утверждение: Если Вы правильно формализовали задачу, то Вы её уже решили. Т.е. всё остальное тривиально.<br /><br /><br />[quote]<br />Мало привести выражение для радиуса r=2s/p, надо еще указать на область допустимых значений для s, p<br />Это где такое требование написано? <br />[quote/]<br />На той же лекции.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-7326188433729224322011-03-09T02:36:15.087+03:002011-03-09T02:36:15.087+03:00Слова «дан» в задаче нет, перечитайте пост. ;) Поэ...Слова «дан» в задаче нет, перечитайте пост. ;) Поэтому переменную, обозначающую треугольник, одинаково приемлемо связывать с помощью ∀ и ∃, хотя о варианте с ∀ я сразу не подумал. Выбор зависит от того, кто как понимает естественный язык, а это субъективно. Поэтому я не вижу смысла обсуждать, является ли мой вариант ошибочным или правильным. Для меня он правильный. :)beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-89058541484592680952011-03-08T22:29:12.914+03:002011-03-08T22:29:12.914+03:00> Ну хорошо, можно так
Это опять задача "...> Ну хорошо, можно так<br /><br />Это опять задача "Доказать, что существует треугольник с радиусом вписанной 12, площадью 60 и периметром 24".<br /><br />Это совсем не то же самое, что "Дан треугольник с площадью 60 и периметром 24. Найти радиус вписанной окружности."<br /><br />Та же ошибка.Vaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-33884911217146669812011-03-08T22:23:47.403+03:002011-03-08T22:23:47.403+03:00Неправильна ваша формализация. Потому что она соот...<em>Неправильна ваша формализация. Потому что она соответствует задаче «Доказать, что существует треугольник с площадью 60, периметром 24 и найти радиус вписанной в него окружности».<br /><br />А задача звучала так: «Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24».</em><br /><br />Ну хорошо, можно так:<br /><br />∃т:треугольник. 12=радиус_окружности(окружность_вписанная_в_треугольник(т)) ∧ площадь_треугольника(т,60) ∧ периметр_треугольника(т,24)<br /><br />По сути то же самое, я заменил некоторые отношения на функции. Всё равно ерунды типа «любое решение верно», не получится.beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-48272181171543588992011-03-08T21:27:56.827+03:002011-03-08T21:27:56.827+03:00> Гипотезу доказать. Блин, неужели это так труд...> Гипотезу доказать. Блин, неужели это так трудно понять. <br /><br />Отчего же. Понять легко.<br /><br />> Ответ не есть что-то, что нужно вывести из гипотезы. Ответ — это число «12» внутри гипотезы.<br /><br />Неправильна ваша формализация. Потому что она соответствует задаче «Доказать, что существует треугольник с площадью 60, периметром 24 и найти радиус вписанной в него окружности».<br /><br />А задача звучала так: «Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24».Vaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-12671495291829498752011-03-08T20:50:43.268+03:002011-03-08T20:50:43.268+03:00> Не вижу необходимости вводить «осмысленность»...<em>> Не вижу необходимости вводить «осмысленность».<br />Она нужна хотя бы на этапе перевода с человеческого на математический язык. Как доказать утверждение "лдорываплдорипмлдио"? А никак! Оно не имеет смысла</em><br />Я бы всё-таки сказал, что оно синтаксически некорректно.<br /><br /><em>> Встречный вопрос. Как научить юношу теории групп?<br />Сначала мы рассматриваем</em><br />Отлично. У меня нет возражений. Добавьте ещё примеров более практических, ну там числа, число-значные функции, многочлены. Так и я бы хотел учиться. ;)beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-33693581438550759802011-03-08T19:12:21.744+03:002011-03-08T19:12:21.744+03:00> Не вижу необходимости вводить «осмысленность»...> <i>Не вижу необходимости вводить «осмысленность».</i><br />Она нужна хотя бы на этапе перевода с человеческого на математический язык. Как доказать утверждение "лдорываплдорипмлдио"? А никак! Оно не имеет смысла и не может быть переведено в термины логики.<br /><br />> <i>Так давно уже учат считать на палочках, и никто не требует заменять это аксиомами Пеано.</i><br />Вот именно! Иногда надо сначала пощупать объект, а потом уже лучше понять, что это такое.<br /><br />> <i>Встречный вопрос. Как научить юношу теории групп?</i><br />Сначала мы рассматриваем простейшие группы (из одного, из двух элементов), мусолим всячески аксиомы, смотрим на то, как можно поменять операцию, чтобы получить другую группу из данной и т.д. Надо силами ученика построить "почти группы" (для которых ровно одна аксиома не выполняется), чтобы ещё лучше начать в них ориентироваться. Постепенно юноша начинает чувствовать аксиомы, поэтому ему можно давать формулировки простейших теорем и предлагать их доказывать самостоятельно, можно рассматривать примеры более сложных групп. Как-то так.Илья Весеннийhttps://www.blogger.com/profile/12075968879288943233noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-79539141066491020822011-03-08T19:09:26.751+03:002011-03-08T19:09:26.751+03:00> Если это что-то новое
Это дико старое и элеме...> Если это что-то новое<br />Это дико старое и элементарное: это отношение между картой и территорией. http://yudkowsky.net/rational/the-simple-truth<br /><br />> , так как, чтобы писать и проверять формальные доказательства, не нужно знать model theory и прочая, даже таблицы истинности не нужны!<br /><br />Да, вы правы. Я передвинул "Art of Proof" на последнее место после всего, кроме Model Theory, Proof Theory и метарассуждений.<br /><br />Все эти пункты -- это, в общем, и есть обьяснение того, что такое математическая логика, с чем она связана и как ее использовать.Vaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-19826621224486604072011-03-08T19:09:12.315+03:002011-03-08T19:09:12.315+03:00Vag, я вижу, вы в online, но ссылка ICQ в вашем фо...<strong>Vag</strong>, я вижу, вы в online, но ссылка ICQ в вашем форме blogger.com не работает (Firefox предлагает мне загрузить файл cmd.php), и я не вижу другого способа с вами связаться. Я не прочь обсудить, но не хочу сорить в чужом блоге.beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-8373578238475208942011-03-08T19:03:50.387+03:002011-03-08T19:03:50.387+03:00> Гипотезу я выдумал сам.
То есть, вы рассматр...<em>> Гипотезу я выдумал сам.<br /><br />То есть, вы рассматриваете только доказательство, абстрактно, без его места в теории. Ок, в таком случае точно так же из противоречия в гипотезе выводимо любое заключение, т.е. любой ответ формально верен.</em><br />Нет. <strong>Ответ</strong> не есть что-то, что нужно вывести из гипотезы. Ответ — это число «12» внутри гипотезы. Решить задачу — найти число, подставить его в мою гипотезу вместо «12» и доказать новую гипотезу. <strong>Гипотезу доказать.</strong> Блин, неужели это так трудно понять.beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-45380781474578589732011-03-08T19:00:14.066+03:002011-03-08T19:00:14.066+03:00@beroal: Анализируя свой субоптимальный путь, я пр...<em>@beroal: Анализируя свой субоптимальный путь, я придумал начальную программу введения в математику</em><br />Я вообще-то к программам отношусь настороженно. :) Составление программ подменяет более конкретные действия.<br /><br />Что такое программа? Это сборник уже известных материалов, в новой комбинации. Я там увидел незнакомые мне пункты, например, «Notion of encoding». Если это что-то новое, вы должны написать этот раздел сами. Я бы поставил «Art of proof» сразу после изучения языка математической логики, так как, чтобы писать и проверять формальные доказательства, не нужно знать model theory и прочая, даже таблицы истинности не нужны! Тогда можно изучать формальную логику в ещё более молодом возрасте.beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-21341356764572130132011-03-08T18:56:24.537+03:002011-03-08T18:56:24.537+03:00> Гипотезу я выдумал сам.
То есть, вы рассматр...> Гипотезу я выдумал сам.<br /><br />То есть, вы рассматриваете только доказательство, абстрактно, без его места в теории. Ок, в таком случае точно так же из противоречия в гипотезе выводимо любое заключение, т.е. любой ответ формально верен. _|_ |- P.Vaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-91064381064545664592011-03-08T18:44:36.049+03:002011-03-08T18:44:36.049+03:00> А. Я как-то сразу решил по умолчанию, что эта...<em>> А. Я как-то сразу решил по умолчанию, что эта формализация бредовая и никому в голову не придёт.<br />Ну, здрасте. А откуда вы гипотезу тогда взяли? Это же и есть антецедент импликации теоремы. </em><br />Гипотезу я выдумал сам. Я думаю, так правильно формализовать геометрические задачи. Ну, я бы так сделал.beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-67012821171449158952011-03-08T18:43:05.416+03:002011-03-08T18:43:05.416+03:00Повторю пример: можно ли объяснить ребёнку, что та...<em>Повторю пример: можно ли объяснить ребёнку, что такое число (например, через систему аксиом), не научив его считать? Если знаете способ сделать это, то поделитесь, пожалуйста.</em><br />Вы сводите математику к обучению ребёнка считать. Так давно уже учат считать на палочках, и никто не требует заменять это аксиомами Пеано. Но вы слишком обобщили один этот эмпирический факт. Встречный вопрос. Как научить юношу теории групп? Группа — это лишь то, что записано в её аксиомах. Как объяснить, что элементы носителя группы не есть конкретный математический объект, не состоят из «палочек» или что там ещё?beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-3406230290641425992011-03-08T18:39:53.434+03:002011-03-08T18:39:53.434+03:00> А. Я как-то сразу решил по умолчанию, что эта...> А. Я как-то сразу решил по умолчанию, что эта формализация бредовая и никому в голову не придёт.<br /><br />Ну, здрасте. А откуда вы гипотезу тогда взяли? Это же и есть антецедент импликации теоремы.Vaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-19054535779336887832011-03-08T18:34:38.501+03:002011-03-08T18:34:38.501+03:00beroal > Это не заблуждение, а нормальное прави...<em>beroal > Это не заблуждение, а нормальное правило вывода в логике.<br />Далее в заметке поясняется, что если "что угодно" является осмысленным высказыванием, то это утверждение верно.</em><br />Не вижу необходимости вводить «осмысленность». В языке математической логики иногда отличают синтаксически некорректные логические формулы. Ах да, в теории типов терм может не пройти проверку типа. Но возиться со «смыслом», что бы это ни было, нет нужды. Путает.beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-73016807623935954822011-03-08T18:31:08.680+03:002011-03-08T18:31:08.680+03:00Vag, оффтопичные вопросы задавайте в моём блоге. И...<strong>Vag</strong>, оффтопичные вопросы задавайте в моём блоге. Илье Весеннему они точно не нужны. Live Journal поддерживает OpenID.beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-91758055003432481452011-03-08T18:29:35.730+03:002011-03-08T18:29:35.730+03:00В гипотезе нет импликации, но решение задачи есть ...<em>В гипотезе нет импликации, но решение задачи есть доказательство теоремы, которая представляет собой импликацию… Я исходил именно из этой формализации</em><br />А. Я как-то сразу решил по умолчанию, что эта формализация бредовая и никому в голову не придёт. :)beroalhttps://www.blogger.com/profile/13229768366613602827noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-60640586595510078342011-03-08T17:57:26.952+03:002011-03-08T17:57:26.952+03:00> Чтобы понять, надо поработать с понятием, для...> Чтобы понять, надо поработать с понятием, для чего надо знать формальное определение.<br /><br />@beroal: Кстати о формальном изложении. Посмотрел я на ваши теории на вашем сайте. Почему вы не используете Цезаря? Это же издевательство над читателем. Вот, посмотрите, например: http://vag.biz.nf/theories/toc.htmlVaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-68535477556695759012011-03-08T17:51:38.593+03:002011-03-08T17:51:38.593+03:00И.В.>> Распространённое заблуждение состоит ...И.В.>> Распространённое заблуждение состоит в том, что из ложного утверждения следует что угодно.<br />beroal > <i>Это не заблуждение, а нормальное правило вывода в логике.</i><br />Далее в заметке поясняется, что если "что угодно" является осмысленным высказыванием, то это утверждение верно.<br /><br />beroal > <i>Как видите, в гипотезе нет импликации, поэтому применить «из абсурда следует что угодно» нельзя.</i><br />Об этом как раз следующая заметка: важно иметь одинаковые договорённости о том, как понимать предложенный текст условия. Его можно трактовать разными способами. И перед обсуждением, что является правильным, надо договориться, как именно мы понимаем задачу.<br /><br />> <i>Выработка автоматизмов без понимания здорово подрывает возможность научения и приобретения понимания в будущем.</i><br />Есть взгляд, что выработка автоматизмов без понимания - это и есть чрезмерная формализация (не понимаем, что делаем, но делаем по жёстким формальным правилам).<br /><br />Повторю пример: можно ли объяснить ребёнку, что такое число (например, через систему аксиом), не научив его считать? Если знаете способ сделать это, то поделитесь, пожалуйста.<br /><br />К чему этот пример? К тому, что иногда для понимания сути вопроса надо этот вопрос порешать какое-то время без чётких определений (потому что их пока не понять). Впрочем, я согласен, что есть много случаев (мне такое попадалось много раз в программировании), когда люди умеют что-то делать, но не знают теории. И это в самом деле очень мешает дальнейшему обучению такого человека. Вы верно подметили, что это уродует учащегося и портит его ум.Илья Весеннийhttps://www.blogger.com/profile/12075968879288943233noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-2463601380355585872011-03-08T13:08:34.423+03:002011-03-08T13:08:34.423+03:00@beroal: Анализируя свой субоптимальный путь, я пр...@beroal: Анализируя свой субоптимальный путь, я придумал начальную программу введения в математику http://vagston.blogspot.com/2008/11/introductory-course-to-applied-math-no.htmlVaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-12240307002571652912011-03-08T12:40:09.398+03:002011-03-08T12:40:09.398+03:00> Это убеждение сильно повредило мне в прошлом
...> Это убеждение сильно повредило мне в прошлом<br />Мне также. Выработка автоматизмов без понимания здорово подрывает возможность научения и приобретения понимания в будущем. Выработка ложных расплывчатых интуиций, которые не нанизываются на стержень формального изложения, здорово уродует учащегося математике и портит его ум.Vaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6846929136376245264.post-51444362070591907682011-03-08T12:37:20.991+03:002011-03-08T12:37:20.991+03:00В гипотезе нет импликации, но решение задачи есть ...В гипотезе нет импликации, но решение задачи есть доказательство теоремы, которая представляет собой импликацию: "∃т:треугольник. площадь_треугольника(т,60)∧периметр_треугольника(т,24) -> радиус_вписанной(т,30)", а эту теорему уже можно доказать с использованием выведения любого утверждения из абсурда. Я исходил именно из этой формализации http://my-tribune.blogspot.com/2008/02/blog-post_21.html?showComment=1298931928030#c2803905778457386313Vaghttps://www.blogger.com/profile/05936282034517218281noreply@blogger.com